Un teorema es una proposición que se deduce, por aplicación únicamente de la lógica, a partir de los axiomas aceptados y de otras proposiciones demostradas previamente. Normalmente, sólo se da el nombre honorífico de teorema a proposiciones y enunciados que son importantes y principales. Una consecuencia inmediata de un teorema se llama corolario de dicho teorema, mientras que un lema es un enunciado, habitualmente técnico, que se precisa para demostrar el teorema. Los dibujos, diagramas y ejemplos pueden hacer que un enunciado sea creíble, pero lo único que lo convierte en teorema es una demostración detallada.
Naturalmente ésta no es más que la historia oficial. El autor de un teorema de una revista de investigación matemática, especialista en, digamos grupos de hemi-semi-demioperadores de orden exponencial primo, normalmente esboza unos argumentos que le convencen a él, a un par de otros expertos en hemi-semi-demi y al editor. El resultado (los matemáticos suelen llamar «resultados» a los teoremas) es muy probablemente válido, pero usted quizá no pondría la mano en el fuego por él.
Tiene relación con esto una experiencia que he conocido en varios seminarios, coloquios y conferencias. El orador ha llenado la pizarra, o las transparencias, de una densa cortina de definiciones, ecuaciones y demostraciones. Me he perdido, pero me percato de que un buen número de oyentes está asintiendo sabiamente con la cabeza. En una interrupción de la charla, mientras el orador borra la pizarra u ordena sus transparencias, pregunto a uno de los que asentían con entusiasmo sentado a mi lado qué significa uno de los símbolos cruciales. Por su tímido encogimiento de hombros me queda claro que anda tan perdido como yo. La conferencia continúa y él sigue con su cabeceo afirmativo. Observo que además de los que asienten están los que disienten. Hay también, supongo, unos cuantos matemáticos cuyas especialidades son lo suficientemente afines a la del conferenciante para que no sientan la necesidad de asentir ni la tentación de disentir. Son los guardianes provisionales de la virtud matemática.
En cualquier caso, tradicionalmente se escribían las letras QED al final de la demostración de un enunciado con objeto de subrayar que éste había alcanzado el rango superior de la teoremidad. Son las siglas de la frase latina «Quod erat demostrandum», que significa «Lo que había que demostrar», aunque a veces sirven también para otro fin: la intimidación. Para reaccionar interrogativamente a estas tres letras, que se imprimen en mayúscula y se pronuncian con una inflexión de la voz, hace falta mucha confianza en uno mismo. Demasiada para las posibilidades de la mayoría, especialmente si se tiene en cuenta que la falta de confianza matemática es una condición bastante general en todas las edades. (De hecho no hace falta ser anumérico ni matemáticamente ignorante para que a uno le intimiden así. La frase «Es banal» con la que un matemático eminente despacha la demostración inexistente de un teorema tiene a menudo el mismo efecto intimidador sobre los estudiantes de doctorado que sobre los matemáticos profesionales).
Actualmente, la mayoría de textos acostumbran a indicar que una demostración se ha acabado con una señal vertical en negro, ▮, más funcional y menos pretenciosa. Esta práctica fue introducida por el matemático norteamericano Paul Halmos y es preferible, pues sirve igual que el QED para indicar el final, sin esa connotación intimidadora. ¿Se puede acaso pronunciar ▮ con una inflexión en la voz? No obstante, yo sostengo que no habría que renunciar al empleo del QED en ocasiones señaladas, como los principales teoremas, pues la locución confiere al demostrador una sensación más solemne de satisfacción y finalidad que el un poco plebeyo ▮. Al fin y al cabo, hay un límite a lo que uno puede hacer para evitar la intimidación.
La lógica matemática ha cambiado una barbaridad en los últimos 2.500 años. Los silogismos de Aristóteles llevaron a las clasificaciones medievales de los razonamientos, que a su vez llevaron a las álgebras de Boole de proposiciones. Los lógicos de finales del siglo XIX y del XX, como Frege, Peano, Hilbert, Russell y Gödel, han rigorizado y generalizado enormemente las lógicas clásica y medieval y han creado el potente aparato de la moderna lógica de predicados. Sin embargo, la esencia de la lógica y el atractivo cautivador de la demostración matemática siguen ahí y se reflejan en las tres letras QED. Significan, abreviadísimamente, que el teorema se sigue necesariamente de las hipótesis y que (si se ha hecho bien) nada ni nadie pueden cambiarlo.
Una última cosa sobre las demostraciones. Mucha gente piensa que sólo son aceptables aquellas demostraciones que se expresan en forma simbólica y utilizan toda la parafernalia de la lógica formal. Sin embargo, las más de las veces tales demostraciones no hacen sino embrollar las cosas. Con mucho es preferible un razonamiento verbal claro y convincente. Véase, por ejemplo, la demostración de que 6 es el menor número de invitados necesarios que garantizan que al menos 3 de ellos se conocen o que 3 de ellos no se conocen en la entrada sobre Combinatoria, o la de la propiedad del punto fijo del escalador en la entrada sobre Topología.