Los cinco poliedros regulares
En cierta ocasión tuve una estudiante que para referirse a los sólidos platónicos decía las ensaladas de César[13] Por lo demás esa estudiante era más bien mediocre, y nunca llegué a saber si se trataba de un chiste intencionado o una manifestación de «angustia matemática». En cualquier caso los poliedros regulares o sólidos platónicos son cuerpos tridimensionales cuyas caras son polígonos regulares congruentes que en los vértices forman ángulos iguales. Un cubo es un poliedro regular porque todas sus caras son cuadrados iguales, mientras que una caja de zapatos no lo es porque no todos los lados son congruentes. Otro ejemplo de sólido regular (o platónico) es el tetraedro, cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros del mismo tamaño. (En algunos países los envases de leche de cartón son tetraédricos).[14] No puedo poner demasiados ejemplos porque, como ya descubrieron los antiguos geómetras griegos, sólo hay cinco poliedros regulares.
Los cinco poliedros regulares
Los cinco son los ya citados tetraedro y cubo, el octaedro cuyas ocho caras son triángulos equiláteros iguales, el dodecaedro cuyas doce caras son pentágonos regulares (equiláteros y equiángulos) iguales y el icosaedro cuyas veinte caras son triángulos equiláteros iguales. Su belleza y corto número (¿por qué sólo cinco?) propició una reverencia mística hacia estos cinco sólidos regulares, una de cuyas más claras manifestaciones fue el intento de Johannes Kepler de explicar el movimiento de los planetas del sistema solar en base a las propiedades de dichos sólidos. (Afortunadamente no abandonó la tarea y, más tarde, descubrió unas leyes planetarias basadas en la observación y no en prejuicios matemáticos). Aún hoy en día algunas personas meditan en el interior de grandes estructuras tetraédricas o acarician cristales simétricos en la creencia de que por medio de ello alcanzarán conocimiento, salud o algún otro desiderátum. Es curioso que algunas de las discusiones en torno a las formas de las siete discontinuidades elementales de la moderna teoría de catástrofes tengan este mismo carácter sobreexcitado y pseudocientífíco.
Misticismos aparte, los poliedros regulares tienen algo de prístino. Que solo haya cinco se puede demostrar fácilmente a partir de una fórmula bien conocida debida al matemático suizo del siglo XVIII Leonhard Euler. Según esta fórmula, cualquier poliedro (un sólido cuyas caras son polígonos que no han de ser necesariamente iguales, ni regulares, ni tener la misma forma) cumple que, si se suma el número de vértices con el número de caras y al resultado se le resta el número de aristas, siempre da 2. Puesto en un lenguaje más matemático, y usando siglas de significado evidente, el resultado es V + C − A = 2. (Algo que ayuda a entender la fórmula es comprobar su validez para cubos y cajas de zapatos, en cuyo caso V = 8, A =12 y C = 6). Como la fórmula es válida para todos los poliedros (ya sean platónicos o no) y como el hecho de ser platónico impone nuevas condiciones sobre V, E y F, un poco de cálculo demuestra que sólo son posibles los cinco poliedros regulares citados.
Sorprendentemente, en las fórmulas del área y del volumen de los poliedros regulares interviene el número e, la base de los logaritmos naturales. Hay también una relación inesperada entre el rectángulo áureo (véanse las entradas sobre E y Rectángulo áureo) y el icosaedro: Si tres rectángulos áureos iguales se cortan simétrica y perpendicularmente, sus vértices son los vértices de un icosaedro regular. Una propiedad más comprensible de los poliedros regulares es que nos proporcionan buenos dispositivos para el azar: los cubos (esto es, los dados) para elegir cualquiera de entre seis resultados equiprobables, los dodecaedros para cualquiera de entre doce, etc. De hecho, la naturaleza elemental de los poliedros regulares (al igual que la de pi y e) les convierte en buenos candidatos para comunicarnos con otros seres inteligentes si los hubiera en alguna parte.
Los poliedros regulares son uno de los pocos temas interesantes de la geometría clásica de los sólidos, una materia que, moribunda en su tiempo, ha resucitado a través de sus generalizaciones a dimensiones superiores, y que actualmente está en la vanguardia de la investigación en algunas ramas de la física, del álgebra abstracta y de la topología.