En la literatura moderna y en el cine es cada vez más corriente que aparezcan personajes que se salen del relato para comentarlo y, a veces, incluso para comentar sus comentarios. Que esta estratagema se utilice últimamente con más frecuencia puede deberse a un aumento de la timidez, a un sentido de la realidad más fragmentado y menos unitario, o a una mayor apreciación por las obras abstractas (véase la entrada sobre Humor). Sea cual sea la razón, se trata de una idea muy antigua. Así lo demuestran el coro del teatro griego clásico o sus distintas encarnaciones en el teatro medieval y en Shakespeare, que actuaban como comentaristas institucionalizados y al mismo tiempo jugaban un papel esencial en la obra.
Dicho comentario en varios niveles comporta una complejidad más viva y lleva a veces, como la clásica paradoja del mentiroso ya conocida hace 2.000 años, a situaciones paradójicas. Se dice que Epiménides el Cretense dijo que todos los cretenses son unos mentirosos. Lo esencial de esta declaración tan hipócrita queda más claro si simplificamos la afirmación y la convertimos en «Estoy mintiendo» o, mejor aún, «Esta frase es falsa». Si llamamos Q a «Esta frase es falsa», observamos que si Q es verdadera, entonces, por lo que ella misma dice, ha de ser falsa. Y por otra parte, si Q es falsa, entonces dice la verdad y, por tanto, Q ha de ser verdadera. Así pues, Q es verdadera si, y sólo si, es falsa. Una variante atenuada de la paradoja del mentiroso se da, aunque implícitamente, siempre que el marco de un cuadro, el escenario de una obra de teatro o el tono de voz que se emplea para contar un chiste sugieren, «Esto es falso, no es real».
La faceta de autorreferencia de estas paradojas se puede expresar también de otros modos. Consideremos el conocido caso del barbero de una ciudad a quien la ley manda afeitar a todos los hombres pero no a aquellos que se afeitan a sí mismos. El pobre barbero se queda con la duda de si debe afeitarse o no. Si se afeita a sí mismo contraviene la ley. Pero por otra parte, si no lo hace también la desobedece. Otra versión de la paradoja, más próxima al tema central de esta entrada, trata de las leyes de residencia para los alcaldes de un cierto país. Algunos de los alcaldes viven en las ciudades que gobiernan y otros no. Un buen día, un monarca reformista publica un decreto que obliga a todos los alcaldes no residentes, y sólo a ellos, a vivir en un mismo lugar —lo llamaremos ZAD, de Zona de Alcaldes Desplazados—. De pronto, al darse cuenta de que ZAD ha de tener alcalde, el rey coge un real dolor de cabeza de tanto darle vueltas a dónde habría de residir el alcalde de ZAD.
Llegamos por fin a la paradoja de Russell. Se debe al filósofo y matemático inglés Bertrand Russell y, en cierto modo, tiene el sabor de las paradojas anteriores, aunque con una potencia matemática muy superior. Aunque está formulada en los términos de la teoría de conjuntos, lo único que hay que saber de los conjuntos es que son, al menos informalmente, colecciones bien definidas de objetos de cualquier clase. También es útil conocer un poquito de notación. Para indicar que 7 pertenece al conjunto P, el conjunto de los números primos, o que 10 no pertenece al conjunto P, se escribe 7 ∈ P y 10 ∉ P, respectivamente. Así, 13 ∈ P y 15 ∈ P. En general «X ∈ Y» significa que X pertenece al conjunto Y o, lo que es lo mismo, que Y contiene a X como elemento. Por tanto, si Y es el conjunto de países de las Naciones Unidas y X es Kenia, entonces X ∈ Y.
Ahora bien, para llegar a la paradoja observaremos que algunos conjuntos se contienen a sí mismos como elementos (X ∈ X) y otros no (X ∉ X). El conjunto de todas las cosas mencionadas en esta página es a su vez mencionado en esta página y, por tanto, se contiene a sí mismo como elemento. Análogamente, el conjunto de todos los conjuntos que tienen más de once elementos contiene a su vez más de once elementos y pertenece por tanto a sí mismo. Y el conjunto de todos los conjuntos es también un conjunto y por tanto también pertenece a sí mismo. Sin embargo, la mayoría de conjuntos que se dan de un modo natural no se contienen a sí mismos como elementos. El conjunto de senadores de la Cámara Alta no es un senador, con lo que no pertenece a sí mismo. O el conjunto de los números impares no es un número impar y por tanto no se contiene a sí mismo como elemento.
Denotemos por M el conjunto de todos los conjuntos que pertenecen a sí mismos y por N el conjunto de todos los conjuntos que no tienen esta propiedad. Puesto en una forma más simbólica, para cualquier conjunto X, tenemos que X ∈ M si y sólo si X ∈ X. Por otra parte, para cualquier X, X ∈ N si y sólo si X ∉ X. Ahora bien, podríamos preguntarnos si N pertenece a sí mismo o no. (Compárese esta pregunta con «¿Quién afeita al barbero?», o con «¿Dónde vive el alcalde de ZAD?»). Si N ∈ N, entonces por definición N ∉ N. Pero si N ∉ N, entonces por definición N ∈ N. Así pues, N pertenece a sí mismo si y sólo si no pertenece a sí mismo. Esta contradicción se conoce como paradoja de Russell.
La solución de Russell a esta paradoja (hay otras) consiste en restringir el concepto de conjunto a una colección bien definida de conjuntos ya existentes. En su famosa teoría de los tipos, él y Alfred North Whitehead clasificaron los conjuntos según sus tipos. En el nivel más bajo, tipo 1, están los objetos individuales. En el siguiente nivel, tipo 2, están los conjuntos de objetos de tipo 1. En el siguiente nivel, tipo 3, están los conjuntos de objetos de tipo 1 o de tipo 2, etc. Los elementos de tipo N son conjuntos de objetos de tipo (N − 1) o inferior. Así se evita la paradoja porque un conjunto sólo puede pertenecer a un conjunto de un tipo superior y por tanto no puede pertenecer a sí mismo. Se ha eliminado la posibilidad de que un conjunto pertenezca a sí mismo (X ∈ X), y así carecen de sentido los conjuntos M y N definidos en base a este concepto.
(Tengo que decir que el objetivo de Russell y Whitehead al construir la teoría de los tipos era, además de evitar esta paradoja y otras parecidas, dar una base axiomática a toda la matemática. Consiguieron reducir toda la matemática a la lógica encarnada en la teoría de los tipos —la lógica más la anterior definición jerárquica de conjunto—. Quiero insistir también en que la referencia a uno mismo no implica necesariamente una paradoja de la matemática o de los lenguajes corrientes y, de hecho, normalmente no es así. La mayoría de casos en que se emplea la palabra «yo», por ejemplo, no dan en absoluto ningún problema).
Podemos también resolver la paradoja del mentiroso en términos de tipos y asignar a «Todos los cretenses son unos mentirosos» un tipo superior al de las otras frases que puedan pronunciar los cretenses. Distinguiremos entre frases de primer orden, que no hacen referencia a ninguna otra frase (verbigracia, «Llueve» o «Menelao es calvo»); frases de segundo orden, que pueden referirse a frases de primer orden («Los comentarios de Waldo acerca de la comida eran disparatados»); frases de tercer orden, que pueden referirse a las de segundo orden; y frases de todos los órdenes superiores. Así, cuando Epiménides dice «Todos los cretenses son unos mentirosos», se ha de interpretar que pronuncia una frase de segundo orden, que no se aplica a sí misma sino sólo a las frases de primer orden. Si dice que todas sus frases de segundo orden son falsas, esta afirmación es de tercer orden y no se aplica a sí misma.
Con más generalidad, esta estructura jerárquica se puede exportar al concepto de verdad: verdad] para los enunciados de primer orden, verdad2 para los enunciados de segundo orden, etc. El matemático Alfred Tarski ha desarrollado y formalizado a fondo este concepto de verdad y el filósofo Saúl Kripke la ha flexibilizado para poder aplicarla a los lenguajes naturales, más propensos a la confusión. Una de estas confusiones se produce cuando dos o más personas hacen afirmaciones inocuas que, al considerarlas juntas, dan lugar a una paradoja. Un ejemplo sencillo es la siguiente conversación en la que Jorge dice «Marta siempre miente» y Marta dice «Jorge siempre dice la verdad», y nadie dice nada más.
Lo que me resulta extraño es que, normalmente, la misma gente que considera que estos temas son imposiblemente esotéricos y académicos sea la que es capaz de desenmarañar rutinariamente narraciones muy barrocas y con una enrevesada superposición de capas, historias de intrigas adolescentes (ella dijo que él dijo, pero no puede ser cierto, pues ella no habría dicho esto y aquello cuando él le mintió acerca de lo que él pensaba que ella decía), de hacer análisis laberínticos de la política de Oriente Medio, o interesarse por las películas y novelas de las que hablé al principio. (Véase también la entrada sobre Variables).