Recta real en la que se señalan algunos números racionales en la parte inferior y algunos irracionales en la parte superior
Si usted no es matemático ni tiene ninguna relación con la matemática, las definiciones de número racional y número irracional no le impresionarán demasiado, al menos de entrada. Número racional es aquél que se puede expresar como cociente de dos números enteros (como las fracciones), mientras que irracional es el número que no admite una expresión de este tipo. La mayoría de números que uno encuentra en la vida cotidiana son racionales: 3, que se puede expresar como 3/1, 82, que se escribe 82/1, 4 1/2 que se expresa 9/2, −17 1/4 que es −69/4, 35,28 que es 3.528/100, o 0,0089 que es 89/10000. Por otra parte, entre dos números racionales cualesquiera, por cerca que estén uno de otro, hay muchos más. Si la gente se pusiera a pensar en ello, probablemente llegaría a la conclusión de que el adjetivo «racional» en «número racional» es tan redundante como el adverbio «arriba» en «subir arriba». Sin embargo, los números racionales, como la vida misma, están flotando en un mar de irracionalidad, y en un sentido importante y bien definido debido al matemático Georg Cantor (véase la entrada sobre Conjuntos infinitos), hay muchos más números irracionales que racionales. Todos ellos, racionales e irracionales por igual, constituyen lo que se conoce como números reales y se pueden expresar en forma decimal y ordenar sobre una línea que se denomina, con bastante propiedad, la recta real.
El primer número irracional que se descubrió fue la raíz cuadrada de 2, √2 (el número que multiplicado por sí mismo da exactamente igual a 2), y el descubrimiento de su irracionalidad originó una cierta crisis en la matemática de la antigua Grecia. Igual que ocurre con la demostración de la infinitud de los números primos, la demostración indirecta estándar de la irracionalidad de √2 es tan elegante e ilustrativa de la técnica clásica de reducción al absurdo que la presentaré aquí. Supongamos que, contra lo que creemos, √2 fuera racional e igual al cociente de P entre Q o P/Q. Simplifiquemos los factores comunes de P y Q y reduzcamos la fracción a su mínima expresión. Por ejemplo, si la fracción fuera 6/4 podríamos reducirla a 3/2. Escribiremos esta fracción reducida como M/N, donde M y N son enteros que no tienen factores comunes.
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación √2 = M/N, obtenemos 2 = M2/N2 que, multiplicada por N2, se convierte en 2N2 = M2. Veamos ahora cómo esto nos lleva inevitablemente a una conclusión absurda (y de ahí la reducción al absurdo) con lo que se demuestra la insostenibilidad de nuestra suposición previa de la racionalidad de √2. Esta sensación de inevitabilidad constituye, en mi opinión, una buena parte de la recompensa psicológica del trabajo en matemáticas y debería valorarse aunque no se apreciaran plenamente los detalles de la demostración.
Sigamos sin más dilaciones. Observamos que el miembro de la izquierda de la ecuación 2N2 = M2 tiene un factor 2 y, por tanto, tiene que ser par. También habrá de serlo pues el miembro de la derecha. Como M2 es par, también lo será M, pues el cuadrado de un número impar es impar. Así pues, al ser M par será igual a 2K para algún entero K, con lo que M2 = (2K)2 = 4K2. Sustituyendo M2 en la primera ecuación, tenemos 2N2 = 4K2, y dividiendo por 2, N2 = 2K2. Como el miembro de la derecha de esta última ecuación tiene un factor 2, y por tanto es par, también lo han de ser N2 y N, pues el cuadrado de un número impar es impar. Como N es par, se podrá escribir como 2J para algún entero J. Hemos insistido al principio en que M y N no tenían factores comunes, pero, como hemos demostrado, M y N tienen un factor 2 en común, por ser M igual a 2K y N a 2J. Esta contradicción es consecuencia directa de nuestra suposición original de que √2 es un número racional y, en consecuencia, dicha suposición es insostenible. En conclusión, √2 ha de ser irracional. Y esto es todo. QED. Sonido de trompetas.
Recta real en la que se señalan algunos números racionales en la parte inferior y algunos irracionales en la parte superior
Podemos demostrar la irracionalidad de muchos otros números. El producto de dos números racionales es racional, y como sabemos que √2 es irracional, también habrá de serlo √2/2. De lo contrario 2 × √2/2 (que es igual a √2) sería también racional y acabamos de demostrar que no lo es. Por la misma razón son irracionales √2/3, √2/4, √2/5, etc. Otros números algebraicos, como la raíz cuadrada de 3, la raíz cúbica de 5 o la raíz séptima de 11 son también irracionales, al igual que π, e y una horda innumerable de números anónimos. (A efectos de cálculo nos basta con la aproximación racional de estos números irracionales. Para aproximar √2 podemos usar 1,4 o 14/10, y, si necesitamos una mayor precisión, usaremos 1,41 o 1,414).
Cuando escribimos √2 (cuya expresión decimal sigue 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 5697…) o cualquier otro número irracional en forma decimal, encontramos que su desarrollo infinito no consiste en un grupo de cifras que se repite periódicamente. Por el contrario, los números racionales, todos ellos de hecho, tienen sucesiones de dígitos que se repiten. Los decimales 5,33333…, 13,87500000…, 29,38 461538 461538 461538…, que representan 5 1/3, 13 7/8, y 29 5/13, respectivamente, son todos números decimales con cifras decimales que se repiten. Como cualquier número racional se puede expresar como cociente de dos enteros, la razón de esta repetición es clara. El primer residuo del proceso de división sólo puede ser un número menor que el divisor y, por tanto, sólo puede tomar un número finito de valores. Si repetimos el proceso indefinidamente, en algún momento habrá de volverse a repetir el mismo residuo, y a partir de este instante es como si el proceso volviera a empezar, de ahí la pauta que se repite en la expresión decimal de un número racional. La demostración del enunciado inverso es más delicada, pero se puede demostrar que si hay una pauta repetitiva en el desarrollo decimal de un número, entonces éste se puede expresar como la suma de una serie geométrica infinita que siempre da un resultado racional.
Repito, un número es racional si y sólo si su desarrollo decimal se repite a partir de un cierto lugar. Las expresiones decimales de √2, π y e no presentan dicha repetición. En el conjunto de todas las expresiones decimales (es decir, en el conjunto de todos los números reales) es mucho más raro que haya una pauta y una repetición que la ausencia de las mismas. La armonía es siempre mucho más rara que la cacofonía.
Para terminar, he de señalar que, a pesar de su rareza, los números racionales tienen en muchos asuntos prácticos un papel mayor que los irracionales. En la mayoría de asuntos económicos cotidianos la distinción entre unos y otros es menos importante que la habilidad para manejar con soltura las operaciones con números racionales: fracciones —propias, impropias y mixtas—, decimales y porcentajes. Desgraciadamente, esta capacidad no es tan universal como convendría. La mayoría sabe manejar números racionales amables como 325,84 ptas. [o 32584/100 ptas.], pero a muchos les supone un gran aprieto decidir si el número racional 25/3 × [(8/9) − (2/5)] ptas. es mayor o menor que el número racional 4 ptas. [4/1 ptas.]. Y, por experiencia personal, sé que en Estados Unidos a pocos cajeros de supermercado les hace gracia que les llegue un cliente con un carro lleno de sandías pretendiendo alegre y enfervorecidamente que ha de bastar con un cuarto de dólar al precio anunciado de 0,59 centavos la libra [(59/100) de centavo o (59/10000) de dólar].