Antes de que los progresos de la física nuclear revelaran que el átomo era una sociedad balcanizada de partículas subatómicas, se solía comparar metafóricamente a los números primos con los átomos. Hechos de un material más tenaz (o mejor de un no-material más tenaz) que los átomos físicos, los números primos comparten con ellos su eterna indivisibilidad. Se distinguen de los números compuestos en que éstos pueden expresarse como producto de dos números más pequeños, mientras que con los números primos no se puede. Los números 8, 54 y 323 son compuestos pues son iguales, respectivamente, a 2 × 4, 6 × 9 y 17 × 19, mientras que los números 7, 23 y 151 son primos porque no pueden ser descompuestos o factorizados. La primera docena de números primos es 2 (el único primo par: ¿por qué?), 3, 5, 7, 13, 17, 19, 21 (es broma), 23, 29, 31, 37. Puede demostrarse que sólo hay una manera de expresar un número entero como producto de factores primos. El número 60, por ejemplo, es igual a 2 × 2 × 3 × 5; el 1.421.625 es igual a 3 × 5 × 5 × 5 × l7 × 223, y el 101, como es primo, simplemente es igual a sí mismo.
Debido a su simplicidad y a su omnipresencia casi tangible, los números primos han fascinado a los hombres desde antes de la antigua Grecia. Una pregunta que surge de manera natural es: ¿cuántos números primos hay? Si continuáramos la lista de números primos empezada más arriba nos daríamos cuenta de que, a medida que fuéramos buscando, los primos se dispersarían cada vez más. Hay más primos entre 1 y 100 que entre 101 y 200. Cabría suponer, pues, que hay un número primo máximo, al igual que hay un elemento con número atómico máximo. Euclides demostró, no obstante, que no hay un número primo máximo y que son, por tanto, infinitos.
La demostración que dio Euclides de esta propiedad es un ejemplo tan bello de lo que suele llamarse demostración indirecta que, arriesgándome a despertar la ansiedad matemática del lector, la reproduciré aquí. Supondremos de entrada que sólo hay un número finito de primos; veremos cómo esta suposición nos lleva a una contradicción. Así pues, escribiremos todos los números primos 2, 3, 5, …, 151, … P, donde P representa el mayor número primo. Denotemos por N el resultado del producto de todos ellos, esto es, N = 2 × 3 × 5 × … × 151 × … × P.
Consideremos el número (N + 1) y veamos si es divisible exactamente por 2 (sin resto). Es claro que N es divisible exactamente por 2, pues éste es un factor de N. Por tanto, 2 no divide exactamente a (N + 1), pues queda un resto de 1. También es claro que N es exactamente divisible por 3, pues éste también es uno de sus factores. En consecuencia, 3 no divide exactamente a (N + 1), pues también queda un resto de 1. Lo mismo vale para 5, 7, y todos los números primos hasta llegar a P. Todos ellos dividen exactamente a N y por tanto dejan un resto de 1 cuando el dividendo es (N + 1).
¿Qué significa esto? Como ningún número primo 2, 3, 5, …, P divide exactamente a (N + 1), o bien (N + 1) es también un número primo, que será mayor que P, o bien es divisible por algún número primo mayor que P. Como hemos supuesto que P era el mayor número primo hemos llegado a una contradicción: la existencia de un número primo mayor que el máximo número primo. Por tanto, la suposición de partida de que sólo hay un número finito de primos ha de ser falsa. Fin de la demostración. QED.
Una proposición más difícil, el teorema del número primo, nos dice aproximadamente con qué frecuencia aparecen los números primos entre los enteros. Si P(N) es el número de primos menores o iguales que N [notemos que P(10) vale 4 pues hay cuatro números primos —2, 3, 5 y 7— menores o iguales que 10], el teorema dice que a medida que aumenta N, el cociente N/P(N) se va acercando cada vez más al logaritmo natural de N. Usando este resultado podemos calcular, por ejemplo, que aproximadamente el 3,6% del primer billón de números son primos. En mi opinión, éste es uno de los teoremas y demostraciones de la teoría de los números que exhiben una pureza inmutable tal que, al menos en los momentos en que uno está suficientemente meditabundo, parecen casi divinos.
Otro aspecto cuasidivino de los números primos es la facilidad con que se pueden formular enunciados relativos a ellos y cuya verdad o falsedad se desconoce. Un ejemplo es la conjetura de Goldbach, que dice que cualquier número par mayor que dos es la suma de dos primos. Comprobamos que 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, y así sucesivamente, pasando por 374 = 151 + 223, etc. Se cree que la conjetura es correcta, pero no se ha demostrado. Tampoco se sabe si hay o no una infinidad de pares de números primos que, como 17 y 19, 41 y 43 o 59 y 61, difieran en 2. Como la anterior, se cree que la proposición es verdadera pero todavía no ha sido demostrada.
A pesar de la metáfora de su divinidad, estas reflexiones puras y aparentemente inútiles acerca de los primos tienen su importancia para las tarjetas de crédito, las telecomunicaciones y la seguridad nacional. La idea básica consiste en que, aunque encontrar el producto de dos primos de 100 dígitos sea algo elemental, es prácticamente imposible factorizar el número de 200 dígitos que se obtiene. Esta propiedad de los números primos y otras parecidas, así como los anteriores números monstruosamente largos, se pueden utilizar para codificar mensajes que sólo podrá descifrar alguien que conozca de antemano sus factores primos. Los bancos usan a diario esos códigos para transferir fondos, y la National Security Agency utiliza variantes de los mismos para fines militares y de información. Tales aplicaciones pueden parecer tan absurdas como un mono trabajando en una fábrica de municiones. ¡Bendito Euclides!
P.D.: Hasta 1990 el mayor número primo conocido es el [(391.581 × 2216.091) − 1], Para determinarlo hizo falta que un superordenador trabajara sin parar durante más de un año.