Se podría esbozar una historia abreviada de los distintos conjuntos de números considerando las soluciones de diferentes tipos de ecuaciones algebraicas. (Véase también la entrada sobre Números arábigos). La ecuación 2X + 5 = 17 tiene por solución el número entero positivo 6. Sin problemas por el momento. Pero si queremos resolver la ecuación 3X + 11 = 5 hemos de ir más allá de estos números tan simples. La solución de la ecuación anterior es un número negativo, −2, aunque se tardó bastante tiempo en dar el paso decisivo y llamar número a −2. Los matemáticos tardaron mucho en entender la categoría de los números negativos y, aún hoy, sus propiedades son un poco misteriosas para quienes se inician en el álgebra. Nadie tiene demasiados problemas con los números negativos en sí. Quince grados bajo cero es perfectamente comprensible, tanto visceral como intelectualmente. Pero ¿por qué un número negativo por un número negativo da un número positivo?
La respuesta es formal. El producto de dos números negativos se define positivo para que estos números obedezcan las mismas leyes aritméticas que los enteros positivos. Los ejemplos financieros son muy ilustrativos. Suponga que le pagan semanalmente 10.000 ptas. de una pequeña pensión, que usted guarda puntualmente bajo el colchón. Así dentro de 7 semanas tendrá bajo el colchón 70.000 ptas. más que hoy (7 × 10.000 ptas. = 70.000 ptas.), mientras que hace 5 semanas había 50.000 ptas. menos que hoy (−5 × 10.000 ptas. = −50.000 ptas.). Suponga ahora que, pasados algunos años, su pensión se ha acabado y que tiene que pagar 10.000 ptas. a la semana que saca de su escondrijo bajo el colchón. Entonces, al cabo de 8 semanas habrá en el escondite 80.000 ptas. menos que hoy (8 × −10.000 ptas. = −80.000 ptas.) mientras que hace 3 semanas había 30000 ptas. más que hoy (−3 × −10.000 ptas. = 30.000 ptas.).
Así pues, completamos nuestro sistema de números enteros positivos con los enteros negativos. Pero su conjunto, los enteros, todavía no basta para resolver ecuaciones como 5X − 1 = 7, cuya solución, 8/5, es una fracción (un número racional). Igual que hicimos antes, somos hospitalarios e incorporamos todas las fracciones a nuestro sistema numérico. Pero incluso los números racionales son insuficientes para calmar nuestra sed de soluciones. La ecuación X2 − 2 = 0, por ejemplo, tiene como solución la raíz cuadrada de 2, que no es un número racional. Como tampoco lo es la solución de 4X3 − 7X + 11 = 0. Quizá si incorporáramos a nuestro sistema numérico todos estos números algebraicos y también todos los números irracionales podríamos llegar a resolver todas las ecuaciones algebraicas.
Falso. Una ecuación tan simple como X2 + 1 = 0 no tiene solución. No hay ningún número real (ni racional ni irracional) tal que X2 = −1 porque el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual que 0. ¿Qué podemos hacer? Inventamos un nuevo símbolo, i, que definimos simplemente (al igual que ya hicieron Euler, D’Alembert y otros) como √−1, la raíz cuadrada de −1. Así i2 = −1, y tenemos una solución para nuestra ecuación. Originariamente la letra i se escogió para indicar la naturaleza imaginaria de este número, pero a medida que fue en aumento el grado de abstracción de la matemática, resultó no ser más imaginario que muchas otras construcciones matemáticas. Ciertamente, no sirven para medir cantidades, pero obedecen a las mismas reglas aritméticas que los números reales y, aunque sea sorprendente, permiten formular algunas leyes físicas del modo más natural.
Los números de la forma a + bi, donde a y b son reales, constituyen los números complejos, un conjunto de números que incluye a los reales como subconjunto. (Los números reales no son más que aquellos números complejos que tienen b = 0. Así los números reales 7,15 y π se pueden escribir, respectivamente, como 7,15 + 0i y π + 0i. El número i se puede escribir como 0 + 1i). La suma de dos números complejos, pongamos 3 + 5i y 6 − 2i, se define como 9 + 3i. La resta se define de un modo análogo, y la multiplicación y la división tienen en cuenta el hecho de que i2 = −1. Una vez construido este sistema numérico ampliado, podemos demostrar el teorema fundamental del álgebra según el cual, aparte de la ecuación ya citada X2 + 1 = 0, cualquier otra ecuación algebraica tiene soluciones en el conjunto de los complejos. (Véase la entrada sobre La fórmula de la ecuación de segundo grado). Las ecuaciones 2X7 − 5X4 + 19X2 − 11= 0, X17 − 12X5 + 8X3 = 0, y 3X8 − 26X − 119 = 0 tienen todas ellas solución en el conjunto de los números complejos. Además, las ecuaciones cuadráticas (aquellas en que la variable está elevada al cuadrado) tienen dos raíces, las ecuaciones cúbicas tienen tres, las cuárticas tienen cuatro y, en general, las ecuaciones polinómicas de grado N (en las que la variable está elevada a la N-ésima potencia como máximo) tienen N raíces.
Aunque los primeros en idear los números imaginarios los usaban sólo formalmente y apenas comprendían lo que estaban haciendo, pronto otros generalizaron las definiciones de las funciones trigonométricas y exponenciales al dominio de los complejos y extendieron el análisis matemático (el cálculo, las ecuaciones diferenciales y otros temas afines) adaptándolo a estas generalizaciones. En particular, se asignó un sentido a la operación de elevar un número a un exponente imaginario. El resultado es una de las fórmulas matemáticas más notables: eπi = −1, donde e es la base de los logaritmos naturales. Si escribimos la expresión anterior como eπi + 1 = 0, tenemos las cinco constantes más importantes de la matemática en una sola ecuación. (Ya sé que ocurre lo mismo en eπi = 1, pero como la potencia 0 de cualquier cosa es 1, la presencia de e, i y π en este caso es superflua). Estos progresos técnicos, entre los que se cuenta la interpretación geométrica de varias operaciones entre números complejos, prepararon el camino para su indispensable uso posterior en la teoría del electromagnetismo y en otras ciencias físicas. Sus avances estimularon también el desarrollo del álgebra abstracta y, en particular, el análisis vectorial y los cuaterniones.
El número i es una prueba de la magnitud de los progresos verdaderos que pueden darse como consecuencia de postular entidades imaginarias. Los teólogos, que han construido elaborados sistemas sobre analogías mucho más débiles, quizá deberían animarse con ello.