Rápidamente, ¿qué es mayor, 381000000000 o 98200000000? Y ¿qué es menor, 0,00000000034 o 0,0000000085? Sin contar los ceros, o sin la presencia de los espacios separadores, hace falta algo más que una simple mirada para captar la magnitud de 9.450.000.000.000.000, el número de metros de un año luz, o la pequeñez de 0,000 006 5, la longitud de onda de la luz roja expresada en metros. La notación científica es un convenio que nos permite escribir estos números, muy grandes o muy pequeños, de modo que sus magnitudes relativas sean manifiestas. Además, nos ahorra el esfuerzo de tenerlos que pronunciar.
Para comprender esta notación hay que recordar que 101 es otra manera de escribir 10, que 102 es 100, que 106 es 1.000.000 y que en general 10N es la unidad seguida de N ceros. De ahí pues que 4 × 103 es (4 × 1.000) o 4,000, y que 5,6 × 106 es 5,6 × 1.000.000 o 5.600.000. Para expresar números pequeños se usan los exponentes negativos, y definimos 10−1 como 0,1, 10−2 como 0,01, 10−6 como 0,000 001, y en general 10−N como la unidad precedida de un 0, una coma decimal y (N−1) ceros más (o también 10−N = 1/10N). De ahí que 5,7 × 10−3 sea (5,7 × 0,001) o 0,0057, y 9,1 × 10−8 sea (9,1 × 0,000 000 01) o 0,000 000 091.
Es parte del convenio que a la izquierda de la coma sólo haya un dígito distinto de 0. Así 48.700 se escribe 4,87 × 104 y no 48,7 × 103, y 0,000 000 23 se escribe 2,3 × 10−7 y no 23 × 10−8, aunque en cada caso las dos expresiones indican el mismo número. Análogamente, se escribe 239.000.000 como 2,39 × 108; 59.700 000.000.000 como 5,97 × 1013; 0,000 031 como 3,1 × 10−5; y 0,000 000 002 5 como 2,5 × 10−9.
Además de simplificar el reconocimiento, la notación científica hace más fáciles los cálculos aproximados de orden de magnitud, pues nos permite usar la ley de los exponentes, según la cual 10M × 10N es igual a 10M + N o, en particular, que 105 × 108 = 1013. Por ejemplo, como el mundo tiene aproximadamente 5 × 109 habitantes y cada persona tiene en la cabeza una media de aproximadamente 1,5 × 105 cabellos, en la Tierra hay aproximadamente (5 × 109) × (1,5 × 105), o 7,5 × 1014 cabellos humanos. (Me apartaré un poco del tema para observar que la ley de la suma de exponentes explica el uso de los exponentes fraccionarios. Si X? × X? = X1, entonces X? ha de ser igual a √X, pues al elevarlo al cuadrado da X1. Pero X1/2 × X1/2 también da X1, por aplicación formal de la ley de suma de los exponentes. Así pues, X1/2 se define como √X).
Para poder traducir al español la peluda cifra de los 7,5 × 1014 y otras parecidas, hemos de echar mano de una especie de equivalente oral de la notación científica, esto es, de algunos vocablos numéricos tradicionales. Mil es 103; un millón es 106; un billón 1012; y un trillón, 1018. Para hacerse una idea visceral de las diferencias entre estos números puede servir pensar que mil segundos son aproximadamente 17 minutos, un millón de segundos tardan unos 11 1/2 días en pasar, mil millones de segundos son unos 32 años y un billón de segundos, casi 32.000 años.
Si se conocen estas equivalencias y unos cuantos datos comunes (la población de Estados Unidos, la del mundo, la distancia entre las costas este y oeste) es más fácil evaluar la importancia y la exactitud de algunos números grandes y valorar de un modo racional la magnitud de los riesgos. Para poner un ejemplo tópico, el número de servicios sexuales realizados anualmente por las prostitutas norteamericanas se estima en unos trescientos millones (o si lo prefieren 3 × 108). ¿Es una cifra razonable? Y, si no lo es, ¿es mayor o menor el verdadero número? Además de a los académicos y los adolescentes, la respuesta interesa también a los epidemiólogos del SIDA que intentan explicar la aparente escasez de hombres cuya infección pueda ser atribuida a tales contactos. O considérese también el medio billón (5 × 1011) de dólares (según algunas estimaciones) del escándalo de las cajas de ahorros y empréstitos ¿Duda alguien de que permaneció invisible durante tanto tiempo porque era un «asunto de números» y no un «asunto de personas»?
A menudo se emplean prefijos en lugar de exponentes. Los más corrientes son kilo- para 103, mega- para 106, giga- para 109 y tera- para 1012 En sentido descendente el prefijo mili- indica 10−3; micro-, 10−6; nano-, 10−9; y pico-, 10−12. Un nanosegundo es una milmillonésima de segundo y guarda con el segundo la misma proporción que éste con los treinta y dos años del gigasegundo.
El caprichoso vocablo «googol», acuñado por el matemático Edward Krasner para indicar la unidad seguida de cien ceros (10100), nos lleva a reinos aún más insondables. Un googolplex es incomparablemente más inimaginable, pues se define como la unidad seguida de un googol de ceros: 10(googol). Es difícil encontrarse con conjuntos de objetos reales que tengan tantos elementos. El físico Arthur Eddington escribió en cierta ocasión que en todo el universo había aproximadamente 2,4 × 1079 partículas (menos de un googol) y, aunque la física en la que se basaba su estimación está muy superada, sigue siendo válido que, mientras no abandonemos las cosas reales, estos grandes números nos bastan y nos sobran. No obstante, si nos ponemos a contar posibilidades, es fácil superar incluso estos números. Si lanzamos una moneda al aire sólo 1.000 veces, por ejemplo, el conjunto de sucesiones posibles de caras y cruces es, por la regla del producto, 21.000, o aproximadamente 10300, que es ¡el cubo de un googol!
[Aunque la notación científica es útil en muchos contextos, no lo es, por supuesto, en muchos otros. En una guardería especial para niños «superdotados» de Filadelfia vi en cierta ocasión cómo los académicamente obsesos padres de un genio en pañales abrían los brazos y le decían, «Te queremos 108». Vestidos al estilo hippy de los sesenta, sólo estaban haciendo una payasada, pero yo no podía dejar de preguntarme si más tarde, al llegar a casa, no se pondrían a escuchar la vieja canción de folk «Viviré contigo 3,65 × 102 días» o le contarían a su hijo cuentos de «Las 103 y 1 Noches»].