Se sabe que un determinado jugador de baloncesto acierta en el 40% de sus lanzamientos. Si en un partido intenta 20 lanzamientos ¿cuál es la probabilidad de que meta exactamente 11 canastas? Para conocer la respuesta hay unos cálculos estándar que pueden realizarse. Hay también otro método que, aunque en este caso es opcional, a veces es el único modo de abordar el problema. En el caso planteado, supondría pedir al jugador que jugara rápidamente unos 10.000 partidos para que pudiéramos determinar el porcentaje de veces en las que mete exactamente 11 canastas.
Aunque es claramente impracticable para un jugador de baloncesto humano, este método, llamado de Montecarlo, puede realizarse fácilmente en un ordenador. Basta con pedir al ordenador que genere un número entero aleatorio comprendido entre 1 y 5, y que mire si dicho número es 1 o 2. Como 2 es el 40% de 5, si sale 1 o 2 lo interpretaremos como la simulación de un acierto del jugador, mientras que si sale 3, 4 o 5 lo interpretaremos como un fallo. Luego pediremos al ordenador que genere 20 de tales números aleatorios entre 1 y 5, y que mire si exactamente 11 de ellos son 1 o 2. Si es así, lo interpretaremos como si el jugador simulado hubiera metido exactamente 11 canastas de 20 intentos cuando su porcentaje de aciertos es del 40%. Por fin, pediremos al ordenador que realice este pequeño ejercicio 10.000 veces y que contabilice el número de veces en que 11 de los 20 intentos del partido simulado se convierten en canasta. Si dividimos este número por 10.000 tendremos una muy buena aproximación de la probabilidad teórica en cuestión.
Para apreciar la utilidad de la simulación es bueno realizar una por uno mismo. (No se preocupe. No hace falta ordenador, basta con una moneda). Imagine que un gobierno sexista de un cierto país le contrata como asesor. Acaba de adoptar una política que obliga a las parejas a tener hijos hasta que les nazca el primer varón, momento en el que han de cesar de procrear. Lo que quieren saber los gobernantes de ese país es: ¿cuántos hijos tendrá la familia media como resultado de esta política?, y ¿cuál será la distribución de sexos? En vez de hacer una recopilación de datos estadísticos, para lo cual necesariamente se tardarían años, uno puede lanzar una moneda al aire para tener una muestra suficientemente grande que permita hacer una estimación. Interpretando la cara como varón (V) y la cruz como hembra (H), uno lanza la moneda al aire hasta que sale la primera cara y apunta el número de lanzamientos, esto es, el número de hijos de la familia. La sucesión HHV corresponde a dos chicas seguidas de un chico, V corresponde a un hijo único varón, etc. Repítase este procedimiento 100 o 1.000 veces para producir 100 o 1.000 «familias» y calcúlese el número medio de hijos de cada familia y la distribución por sexos. Puede que usted, y también los funcionarios del país, encuentren sorprendente la respuesta.
La aplicación de los métodos de Montecarlo facilita grandemente los estudios de grandes sistemas, las situaciones que se dan en problemas de colas y planificación de horarios, y en fenómenos físicos, tecnológicos y matemáticos. Desde las rebajas de los grandes almacenes a los laboratorios de turbulencia aeronáutica, todo el mundo simula. Generar números aleatorios en un ordenador y manejar luego las simulaciones probabilísticas basadas en ellos es más fácil y barato que tratar con fenómenos aleatorios reales. La única advertencia es que no hay que olvidar que existe una clara diferencia entre el modelo o simulación de un fenómeno y el fenómeno real propiamente dicho. No es lo mismo tener un hijo que lanzar una moneda al aire.
En relación a esto es útil la siguiente representación esquemática de la simulación —y, hasta cierto punto, de la matemática aplicada en general—. El proceso puede dividirse en cinco estadios: el primero es la identificación del fenómeno real que nos interesa; a continuación, la creación de una versión idealizada de dicho fenómeno; en tercer lugar, la construcción de un modelo matemático basado en dicha versión simplificada; luego, la realización de una serie de operaciones matemáticas con el modelo para obtener predicciones y, por último, la comparación de estas predicciones con el fenómeno original para ver si concuerdan. (Véase la entrada sobre La filosofía de la matemática).
Muchas aplicaciones de la matemática son inmediatas, pero lamentablemente es muy fácil, especialmente en las ciencias sociales, confundir el modelo propio con la «realidad» y atribuir a esta última alguna propiedad que sólo existe en el modelo. He aquí un ejemplo simple tomado del álgebra elemental: Jorge puede realizar una tarea en 2 horas y Marta emplea 3 horas en realizar la misma tarea. ¿Cuánto tardarán trabajando los dos a la vez? La respuesta «correcta» de 1 hora y 12 minutos supone que, trabajando juntos, la presencia de uno no estorba ni estimula el trabajo del otro. En este caso, y en muchísimos otros, la certeza de las conclusiones matemáticas derivadas del modelo no siempre es extensiva a las suposiciones, simplificaciones y datos que uno ha empleado en la construcción del modelo. Éstos no se dejan manejar bien, son nebulosos y totalmente falibles, a pesar de las afirmaciones, fastidiosamente autosuficientes a veces, de sociólogos, psicólogos y economistas. Al igual que la señora Brown, la mujer perfectamente ordinaria de Virginia Woolf, la realidad es infinitamente compleja e imposible de capturar por completo en ningún modelo matemático.
[La respuesta al problema de simulación es que el número medio de hijos por familia es dos, un varón y una hembra].