El estudiante de cuarto grado observa que la mitad de los adultos del mundo son hombres y la otra mitad mujeres y saca de ello la conclusión de que el adulto medio tiene un pecho y un testículo. Un agente inmobiliario le informa de que el precio medio de una casa en cierto barrio es de 40.000.000 ptas. y de ello deduce que en dicha vecindad hay muchas casas sobre este precio. Un vendedor dice que la mediana de las comisiones de sus nueve ventas de hoy es de 8.000 ptas. y sugiere que ganó 72.000 ptas. con esas ventas. El dueño del restaurante dice que la moda, o lo más corriente, de las cuchipandas en sus fiestas es 120.000 ptas. e insinúa que la mitad de sus clientes gastan más. Un agente de bolsa afirma que su inversión valdrá millones pero, por los cálculos que usted hace, piensa que cientos es más ajustado.
De la única de las cinco afirmaciones de la que podemos estar seguros es la del estudiante de cuarto grado. La media, la mediana y la moda son «indicadores medios» o medidas de la tendencia central, unos números que pretenden dar una idea de lo que es típico y corriente en una situación dada, pero no siempre es así. Como sus valores relativos pueden variar considerablemente, es importante conocer sus definiciones. (Véase también la entrada sobre Estadística: dos teoremas).
La media de un conjunto de números es lo que normalmente se conoce como promedio (o media aritmética) de dichos números. Para encontrar la media de N números basta con hallar su suma y dividirla por N. La definición es fácil y conocida, pero muchas de las inferencias que la gente saca de ella carecen de fundamento. Por ejemplo, el barrio referido anteriormente puede tener muy pocas casas de más de 40.000.000 ptas.; quizás hay en él unas pocas grandes mansiones carísimas rodeadas de un enjambre de casas modestas.
Por contra, la mediana de un conjunto de números es el número situado en el centro del conjunto. Para hallarla basta con alinear los números en orden creciente; la mediana es el número del medio (o la semisuma de los dos números centrales, si el conjunto de números es par). Así, la mediana del conjunto 8, 23, 9, 23, 3, 57, 19, 34, 12, 11, 18, 95 y 48 se determina ordenándolos como 3, 8, 9, 11, 12, 18, 19, 23, 23, 34, 48, 57 y 95 y observando que 19 es el que ocupa el lugar central de la lista, por lo cual es la mediana de este pequeño conjunto de números, cuya media es, por cierto, 27,7. (En grandes colecciones de números la mediana se llama a veces 50-ésimo percentil, indicando con ello que es mayor que el 50% de los números de la colección. Análogamente, cuando se dice que un número está en el 93-ésimo percentil se está diciendo que es mayor que el 93% de los números).
El vendedor del ejemplo anterior podría haber ganado millones de pesetas en comisiones por sus nueve ventas de hoy, con una mediana de 8.000 ptas.; quizá seis de las ventas le supusieron una comisión de 8.000 ptas. cada una, mientras que ganó 500.000 ptas. por cada una de las tres restantes. La mediana de las comisiones sería, tal como dijo, 8.000 ptas. pero el total de sus comisiones sería mucho más que las 72.000 ptas. que él sugería haber ganado. La comisión media en este caso sería de 172.000 ptas.
Otro número, que a veces conduce a más equívocos, es la moda de un conjunto de datos. No es más que el dato que aparece con más frecuencia y no tiene por qué estar cerca de la media ni de la mediana del conjunto. El dueño del restaurante que decía que 120.000 ptas. era la moda de las cuchipandas quizás había tenido los siguientes pedidos en aquel mes: 40.000 ptas., 80.000 ptas., 80.000 ptas., 120.000 ptas., 80.000 ptas., 120.000 ptas., 20.000 ptas., 120.000 ptas., 20.000 ptas., 40.000 ptas., 20.000 ptas., 120.000 ptas., 40.000 ptas. La moda es efectivamente 120.000 ptas., pero la mediana es 80.000 ptas. y la media sólo 69.200 ptas.
Un ejemplo algo más sofisticado y truculento de la diferencia entre la media y la moda de una cantidad lo tenemos en el hombre que invierte 100.000 ptas. en un valor volátil que cada año sube un 60% o baja un 40% con la misma probabilidad. Estipula que el valor ha de pasar en herencia a su nieta, quien no ha de venderlo hasta dentro de 100 años, y se pregunta cuánto le darán por él. Esta cantidad depende del número de años en que el valor haya experimentado un alza, y la media matemática, que en contextos probabilísticos se llama también su esperanza matemática, es la friolera de 1.378.000.000 ptas. Sin embargo, la moda o valor más probable de su herencia es sólo la miseria de 13.000 ptas.
La explicación de esta gran diferencia es que las rentas astronómicas correspondientes a muchos años de alza del 60% sesgan la media hacia arriba, mientras que las pérdidas correspondientes a muchos años de un 40% de baja están acotadas inferiormente por 0 ptas. El problema es una versión contemporánea de la llamada paradoja de San Petersburgo. [Para los interesados en más detalles: el valor aumenta una media del 10% anual (el promedio entre +60% y −40%). Así, al cabo de 100 años, la media o esperanza matemática de la inversión es 100.000 ptas. × (1,10)100, que es 1.378.000.000 ptas. Pero por otra parte, el resultado más probable es que el valor experimente un alza en exactamente 50 de los 100 años. Por tanto, la moda es 100.000 ptas. × (1,6)50 × (0,6)50, que es 13.000 ptas. La esperanza matemática no siempre coincide con el valor que se espera].
Corrientemente, la esperanza matemática de una cantidad se calcula multiplicando sus posibles valores por las probabilidades correspondientes a los mismos y sumando estos productos. Consideremos a modo de ilustración una compañía de seguros domésticos que tiene sus buenas razones para creer que en promedio, cada año, por cada 10.000 de sus pólizas recibirá una reclamación de 40.000.000 ptas.; una de cada 1.000 reclamará una indemnización de 5.000.000 ptas.; una de cada 50 reclamará 200.000 ptas., y el resto no dará ningún problema. La compañía de seguros quiere saber cuál es su desembolso medio por póliza (para saber qué primas ha de cobrar) y la respuesta es la esperanza matemática. En este caso: (40.000.000 ptas. × 1/10.000) + (5.000.000 ptas. × 1/1.000) + (200.000 ptas. × 1/50) + (0 ptas. × 9.789/10.000) = 4.000 + 5.000 + 4. 000 + 0 = 13.000 ptas.
La comprensión de estas distintas medidas de la tendencia central hará un 36,17% menos probable que la persona media sea víctima de los usos engañosos de estas cantidades por parte de los agentes de la propiedad inmobiliaria, vendedores, agentes de bolsa y dueños de restaurantes. Naturalmente, esta misma persona ya habrá sido víctima de un caso grave de hermafroditismo y, por tanto, él o ella tendrá probablemente otras preocupaciones.