Límites

Tome un círculo de un metro de diámetro e inscriba en él un triángulo equilátero. A continuación, inscriba un círculo en este triángulo y luego un cuadrado dentro de este círculo más pequeño. Inscriba en el cuadrado un nuevo círculo, en el que inscribirá un pentágono regular. Continúe con estas inscripciones encajadas, alternando círculos y polígonos regulares con un lado más a cada iteración. Está claro que el área de las figuras inscritas disminuye con cada repetición, pero ¿cuál es el área final a la que se llega con esta sucesión de figuras? A primera vista parece como si tuviera que ser cero, y que el proceso concluyera en un único punto aislado. Recuerde, no obstante, que a medida que aumenta el número de lados de los polígonos, éstos se hacen cada vez más circulares y, al cabo de un cierto tiempo, el proceso se convierte, o por lo menos casi se convierte, en circunscribir un círculo dentro de otro, con una pérdida de área mínima entre cada paso y el siguiente. En cualquier caso, ya no le queda más tiempo para pensar la respuesta. El límite de este proceso es un círculo, concéntrico con el primero y con un diámetro aproximadamente 12 veces menor que el de éste.

Inscripciones encajadas que alternan círculos y polígonos regulares, cuyo número de lados aumenta en uno a cada iteración. El límite es un círculo de diámetro aproximadamente 12 veces menor que el original

Muchos otros problemas geométricos acaban en límites y, tradicionalmente, se dice que esta idea es el concepto fundamental del cálculo, la rama de la matemática que trata del cambio. Con la idea de límite podemos hacer que tenga sentido una tasa de variación instantánea, por ejemplo de la posición de un satélite en el espacio, o la suma exacta de una cantidad que varía continuamente, como la fuerza total sobre una presa inclinada. (Véase la entrada sobre Cálculo). Sin este concepto nos veríamos obligados a trabajar sólo con aproximaciones y promedios. Los límites representan formalmente nuestra intuición de algo que se aproxima o tiende a un valor final y aclaran la relación entre las figuras ideales y el infinito.

No obstante, discrepo del lugar principal que suele asignarse a los límites en el primer curso de cálculo, donde la principal consecuencia de su estudio es una reducción drástica de la comunidad de futuros estudiantes de matemáticas, ciencia e ingeniería. La ignorancia de una definición precisa de límite y de los otros conceptos que éste lleva asociados no fue ningún impedimento grave para los inventores del cálculo, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm von Leibniz. Su tarea se vio coronada con el éxito, a pesar de que sólo tenían una idea intuitiva de los límites. De hecho, con el cálculo y sus otras ideas fundamentales sobre el movimiento y la gravitación, Newton dio paso a los avances más revolucionarios de todos los tiempos en nuestra concepción del mundo físico. La ignorancia de dichas definiciones tampoco entorpeció la prolífica obra de Leonhard Euler y de sus compatriotas, la familia de matemáticos suizos Bernouilli, en el siglo XVIII. Y por la misma razón, tampoco es un obstáculo para muchos físicos e ingenieros de hoy el no ser plenamente conscientes de tales conceptos.

El problema anterior de las áreas encajadas tiene la característica bastante comente de que para resolverlo basta con algo de ingenio y una idea somera de lo que son los límites. La opinión tradicional del papel central de los límites es verdadera, sin embargo, en el sentido siguiente. Para el progreso teórico posterior en especialidades matemáticas como las ecuaciones diferenciales, las series infinitas, el cálculo de variaciones, y el análisis real, complejo y funcional, es absolutamente necesario disponer de unos fundamentos más rigurosos que los de Newton con su «método de fluxiones» que, tomado al pie de la letra, era un disparate.

Estos fundamentos más rigurosos fueron asentados en el siglo XIX por los matemáticos Augustin Louis Cauchy, Richard Dedekind y Karl Weierstrass. Entre otras cosas, definen el límite de una sucesión numérica como el número L tal que, por pequeño que sea un número ε dado, la diferencia entre los términos de la sucesión y el número L se hace finalmente (de manera permanente) más pequeña que ε. Así, en particular, la sucesión 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, … tiende a 1 porque para cualquier número pequeño ε se puede demostrar que la diferencia entre los términos de la sucesión y el número 1 a la larga se hace (permanentemente) menor que ε.

Una vez tenemos esta definición (que es equivalente a varias otras) podemos definir el límite de una función Y = f(X) para X tendiendo a un número A. Formalmente, este límite es L si, para cualquier sucesión de valores de X que tiene A por límite, la correspondiente sucesión de valores de Y (obtenidos mediante la función) tiende al límite L. Intuitivamente, Y se acerca a L tanto como queramos siempre que X esté suficientemente cerca de A. Con esta definición podemos caracterizar con precisión el concepto fundamental de derivada de una función. Definiéndola como un límite (de una cierta función cociente asociada), evitamos muchas de las críticas que levantó Newton. Éstas se centraban en la descripción de Sir Isaac de velocidad instantánea de un objeto, como el límite informal de los cocientes de las distancias recorridas entre los tiempos transcurridos, y la subsiguiente necesidad de explicar cómo estas cantidades que se anulaban podían a la vez ser cero y no serlo. (Si aquí se ha perdido, no se preocupe; está en buena compañía).

Aunque sea un error insistir prematuramente en muchos puntos concretos delicados relativos a los límites, también lo es fiarlo todo a la intuición. La definición precisa de limite hace falta para aclarar qué significa el área de una región curva, el límite asintotico de una función o de una sucesión de funciones, la suma de una serie (1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + …) (véase la entrada sobre Series), y multitud de otras construcciones matemáticas más esotéricas. En un tono gracioso poco normal en él, Newton dijo en cierta ocasión que si él había visto más lejos que otros era porque se había aupado sobre los hombros de gigantes. Aupándonos en sus hombros, en los de Cauchy y en los de una miríada de otros hombros, podemos ver aún más lejos. El límite de esta sucesión de hombros sobre los que auparse es indeterminado.