Imaginemos una escalera de mano con infinitos peldaños que llegue hasta el cielo, la azotea de Platón (sobre su famosa cueva), o donde sea. Podremos llegar a esta posición de privilegio si somos capaces de subimos al primer peldaño (o a algún otro) de la escalera y si, siempre que estamos en un peldaño dado (llamémosle K), somos capaces de subir al siguiente (K + 1). La formalización de esta idea es el axioma de la inducción matemática, una de las armas más potentes del arsenal matemático. (Véase también la entrada sobre La recurrencia). Otra metáfora ilustrativa es una hilera infinita de fichas de dominó. Si cae una, seguirá el resto, pero si no empujamos la primera o falta una ficha, entonces no caerán todas.
Consideremos a modo de ilustración la demostración de que 1 + 2 + 3+ 4 + … + N = [N(N + 1)]/2. Tomamos primero un número cualquiera, pongamos el 7, y comprobamos si la fórmula es cierta para él. ¿Es verdad que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = (7 × 8)/2? La respuesta es sí, pues ambos miembros valen 28. Se podría comprobar también que la fórmula es válida para 10. Aunque estos casos y otros que pudiéramos considerar sugieren la posibilidad de que la fórmula quizá valga para todos los enteros, no la demuestran. Para hacerlo usaremos la inducción matemática. ¿Vale la fórmula para N = 1?, o, por emplear la analogía de la escalera, ¿podemos subimos al primer peldaño? Sustituyendo 1 en la fórmula, obtenemos 1 = (1 × 2)/2, que naturalmente se cumple. La fórmula vale también para N = 2, pues 1 + 2 = (2 × 3)/2.
Ya estamos pues en la escalera. Pero ¿podemos subir siempre al siguiente peldaño? Supongamos que estamos balanceándonos precariamente en el K-ésimo peldaño (para un K fijo escogido arbitrariamente) y que la fórmula es válida para este K: 1 + 2 + 3 + 4 + … + K = [K(K + 1)]/2. Para demostrar que podemos trepar al siguiente peldaño, hemos de probar su validez también para (K + 1), esto es, que 1 + 2 + 3 + 4 + … + K + (K + 1) = [(K + 1)(K + 2)]/2. Podemos sustituir los K primeros términos del primer miembro, 1 + 2 + 3 + 4 + … + K, por su suma, que por la primera ecuación supondremos igual a [K(K + l)]/2. Hecha la sustitución nos queda [K(K + 1)]/2 + (K + 1) = [(K + 1)(K + 2)]/2.
Nos queda por demostrar esta ecuación y, para ello, basta simplemente con desarrollar algebraicamente ambos miembros y comprobar que son efectivamente iguales. (Aquellos a los que la palabra «simplemente» les suene a broma deberían intentar seguir la lógica de los pasos precedentes, que en cualquier caso es mucho más sofisticada e interesante que el álgebra). Satisfechas ambas condiciones del axioma de inducción, alcanzamos el cielo matemático y decimos que la fórmula es válida para todos los valores enteros de N.
Comprobar la veracidad de una proposición dada para varios casos particulares quizá contribuye a hacerla verosímil, pero no constituye ni mucho menos una demostración inductiva de la misma. Podemos comprobar, por ejemplo, que para muchos valores de N la suma (N2 + N + 1) es un número primo. (Los números primos no pueden descomponerse en factores como podemos hacer por ejemplo con 35; 35 = 5 × 7.) Para N = 1, la expresión (N2 + N + 1) es igual a 43; para N = 2, da 47; para N = 3, 53; para N = 4, 61,; para N = 5, 71; para N = 6, 83; para N = 7, 97; para N = 8, 113; para N = 9,131. De hecho, todos los valores de N hasta 39 dan un primo para (N2 + N + 1). Pero para N = 40 la proposición es falsa.
La inducción matemática puede usarse para demostrar cualquier proposición relativa a un entero arbitrario. Podemos usarla, por ejemplo, para demostrar que la suma de los ángulos de un polígono convexo (triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, etc.) es siempre igual a (N − 2) × 180°. Cómo llegamos a formular una de esas proposiciones es un tema muy distinto de cómo las demostramos y, de hecho, no se presta a un análisis formal. En este sentido, quiero insistir en que no hay que confundir la inducción matemática con la inducción científica, que consiste, al menos en una primera aproximación, en inferir leyes empíricas generales a partir de ejemplos concretos. Los teoremas demostrados por inducción matemática son deductivos y ciertos, mientras que las conclusiones a que llegamos por inducción científica son, en el mejor de los casos, sólo probables.
Para reforzar su confianza, puede examinar la afirmación de que (4N − 1) es divisible por 3 para cualquier valor de N. Se cumple para N = 2, por ejemplo, pues (42 − 1) (que vale 15) es divisible por 3. ¿Podría demostrar por inducción el resultado general?
Y para reforzarla más todavía, demuestre que la inducción lleva verdaderamente al cielo. Demuestre que sólo le hacen falta dos requisitos para alcanzar la inmortalidad: nacer y tener garantías de que, cualquiera que sea el día, vivirá hasta el día siguiente.
[Para los interesados, la demostración de la penúltima proposición. (41 − 1) es en efecto divisible por 3. Supongamos ahora que (4K − 1) es divisible por 3 y demostremos que (4(K+1) − 1) también lo es. En primer lugar nos damos cuenta de que [4(K+1) − 1] es igual a [(4 × 4K) − 1). Luego hacemos un poco de manipulación algebraica y, sumando y restando 4, escribimos la expresión anterior como la suma: [4 × (4K − 1)] + (4 − 1). Como, por hipótesis (4K − 1) es divisible por 3, también lo es [4 × (4K − 1)]. Finalmente, como (4 − 1) es divisible por 3, y como la suma de dos expresiones divisibles cada una por 3 lo es también, llegamos a la conclusión de que [4(K+1) − 1] es divisible por 3].