Grupos y álgebra abstracta

El álgebra abstracta y la geometría moderna (véase la entrada sobre Geometría no euclídea) fueron productos del siglo XIX y ambas contribuyeron a cambiar nuestra idea de la naturaleza de la matemática. La matemática dejó de ser concebida como algo relacionado exclusivamente con verdades externas a ella y se la empezó a aceptar simplemente como un modo de deducir las consecuencias que se derivan de varios conjuntos de axiomas. Como dijo Bertrand Russell: «La matemática pura consiste únicamente en afirmaciones tales como, si de algo se puede decir tal cosa y tal otra, entonces para este algo se cumple esto y aquello». Uno de los «algos» más importantes del álgebra abstracta es un grupo.

No se trata de una cuadrilla de matemáticos con instintos gregarios. Un grupo matemático es un tipo importante de estructura algebraica abstracta. Como los grupos son abstractos, presentaré algunos ejemplos antes de dar su definición. Consideremos primero el conjunto de los números enteros, los positivos, los negativos y el cero, y la operación de la suma. Fijémonos en algunas cosas que a primera vista pueden parecer triviales: la suma de dos números cualesquiera es otro número; vale la igualdad (3 + 9) + 11 = 3 + (9 + 11) y, en general, el resultado de varias sumas seguidas no depende de cómo las asociemos; existe un número, el 0, tal que, para cualquier número X, X + 0 = X; para cualquier número X, existe otro número que sumado a él da 0: 6 + (−6) = 0, (−118) + 118 = 0, etc.

O consideremos los doce objetos 0, 1, 2, …, 10 y 11, y la operación que consiste en tomar la suma de los números si ésta es menor o igual que 11 o, en caso contrario, tomar el resto de dividir dicha suma por 12 (la operación se suele llamar suma módulo 12). Así 8 + 7 = 3, y (6 + 5) + 9 = 8. Es fácil comprobar que las tres primeras propiedades citadas más arriba también son válidas para este conjunto de objetos y esta operación. La cuarta propiedad también se cumple aunque no es tan evidente. ¿Qué hay que sumar a 7 para que dé 0? No hay un −7, pero sí hay un 5 y 7 + 5 = 0. Puede comprobarse que, para cada objeto, hay un «inverso» que, sumado a él, da 0.

Sin dejar los números, considérense los cuatro objetos 1, 2, 3 y 4, pero esta vez la operación será como el producto, excepto que si el producto es mayor que 4, lo sustituiremos por el resto de dividir por 5 (multiplicación módulo 5). Así, 4 × 3 = 2. Como en los dos casos anteriores valen también las cuatro propiedades. El producto de dos objetos es otro objeto; vale la igualdad (3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4) y en general el resultado global no depende de cómo asociemos los productos; hay un objeto, el 1 en este caso, tal que 1 × X = X cualquiera que sea X; para cada objeto X existe otro objeto que al multiplicarlo por X da 1. Para 2 es 3, pues 2 × 3 = 1, mientras que para 4 es él mismo, pues 4 × 4 = 1.

Los tres conjuntos anteriores con sus respectivas operaciones son grupos, pero retrasaré un poco más la definición general para mostrar que los grupos no tienen por qué estar formados por números o por objetos numéricos. Los elementos del próximo grupo son permutaciones (o reordenaciones) de tres objetos que, con un alarde de imaginación, llamaré A, B y C. Siguiendo con las notaciones imaginativas, denotaré la primera permutación por P₁. No permuta nada, sino que deja A, B y C en el lugar en que estaban. P₁ se llama permutación «identidad» y juega un papel similar al que tenían el 0, el 0 y el 1 en los ejemplos anteriores, los elementos identidad de sus respectivos grupos. La siguiente permutación, P₂, cambia A y B, pero deja C en su lugar. P₃ cambia B y C, y deja A inmóvil, mientras que P₄ cambia A y C dejando B en su lugar. P₅ pone A, B y C en el orden C, A y B, mientras que P₆ permuta A, B y C y los deja como B, C y A. Además, estas P actúan sobre cualquier ordenación de A, B y C a la que las apliquemos, de modo que, por ejemplo, el efecto de P₄ sobre B, A, C es la nueva ordenación C, A, B, resultante de intercambiar los elementos de las posiciones primera y tercera.

Para comprobar la validez de las cuatro propiedades necesitamos una operación definida en este conjunto de permutaciones P₁, P₂, … y P₆. La operación será la «aplicación sucesiva»: se aplica una permutación al resultado de la otra y se obtiene una tercera permutación «producto» de las dos dadas. ¿Cuál sería, por ejemplo, el producto P₂ * P₃? Para determinarlo, sigamos los movimientos de A al realizar el producto. Como P₂ intercambia A y B, A irá a parar a la posición de B después de la primera permutación. Luego P₃ intercambia las posiciones de B y C, dejando A en el lugar de C. Sigamos a continuación la pista de B. Primero P₂ la deja en el lugar de A, y P₃ no la mueve de ahí por cuanto sólo intercambia las posiciones de B y C. En cuanto a C, P₂ no la toca y luego P₃ la pone en el lugar de B. Así pues, P₂ * P₃ reordena A, B y C como B, C y A, que es el mismo efecto de aplicar P₆. Por tanto, P₂ * P₃ = P₆.

Quizá quiera comprobar algunos productos más de este artificio matemático. (O quizá tampoco quiera por esta vez). Por ejemplo, P₂ * P₂ = P₁, o P₄ * P₆ = P₂. De lo que se trata es de no abrumarle con el cálculo (hay artilugios de notación que nos pueden servir para ello) pero demostrarle que estas seis permutaciones con la operación de la aplicación sucesiva, *, satisfacen las cuatro propiedades anteriores: el producto de dos permutaciones cualesquiera es otra permutación; el resultado final de varios productos no se ve afectado por el orden en que los realicemos, como en P_i * (P_j * P_k) = (P_i * P_j) * P_k; hay una permutación, P₁, tal que P₁ * P_i = P_i, para cualquier permutación P_i; y para cualquier permutación P_i, existe otra permutación P_j tal que P_i * P_j = P₁.

Las permutaciones de A, B y C se pueden interpretar como las reflexiones y rotaciones de un triángulo y la operación * como la realización sucesiva de dichos movimientos

Como ya debía esperar, la definición formal de grupo es la siguiente: cualquier conjunto con una operación definida en él y que satisfaga las cuatro propiedades anteriores. Hay un sinfín de ejemplos de grupos, muchos de ellos geométricos. Si hacemos corresponder cada permutación de los vértices a un movimiento de un triángulo, el grupo anterior de las permutaciones de tres elementos se puede interpretar también como un conjunto de reflexiones y rotaciones del mismo, haciendo corresponder cada permutación de los vértices a un movimiento del triángulo. (Cuando, como en este caso, tenemos dos grupos que son en esencia el mismo —elementos identidad correspondientes y operaciones correspondientes— y sólo difieren en los nombres de sus elementos y de sus operaciones, decimos que los grupos son isomorfos). Los grupos aparecen también en la teoría de los nudos y son muy útiles en la clasificación y el análisis de los nudos y las trenzas. Tienen un papel importante en muchas otras ramas de la matemática, en cristalografía y en el estudio de los quarks y la mecánica cuántica. En la mayoría de casos, los elementos del grupo son una acción de algún tipo —una permutación, una flexión o alguna clase de función—. Hasta las distintas contorsiones de las caras de un cubo de Rubik forman un grupo.

Lo que salva a los grupos de ser una simple taxonomía matemática (definición y clasificación sin profundizar mucho más) es que se han demostrado muchos teoremas, y muy potentes, que se refieren a los grupos, subgrupos, grupos cociente y su relación con otras estructuras abstractas. Por poner un ejemplo: si G es cualquier grupo finito y H es un subgrupo cualquiera de G, entonces el número de elementos de H es un divisor del número de elementos de G. La potencia de aislar estas estructuras abstractas y demostrar teoremas relativos a ellas procede en gran parte de un hecho simple. Una vez se ha demostrado un teorema acerca de un grupo abstracto, es válido para cualquier representante del grupo, por dispar que sea. Concentrándonos en la estructura abstracta y no en los aspectos específicos, somos capaces de ver el bosque matemático en vez de los árboles concretos.

Y esto es, en fin, lo esencial del álgebra abstracta. Exactamente igual que el álgebra elemental se sirve de las variables para simbolizar números y estudiar sus propiedades, las teorías de grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales y otras estructuras algebraicas llevan la abstracción mucho más allá. En estas teorías los símbolos representan conjuntos, operaciones en conjuntos, estructuras, funciones entre estructuras, etc., todo ello con el objeto de demostrar teoremas y proposiciones generales.

El resto de la cita de Russell es un final apropiado para la ocasión. «Es esencial no discutir si la proposición es realmente verdadera, ni hablar de qué es el algo acerca del cual se supone la verdad de dicha proposición […]. Si nuestra hipótesis se refiere a algo y no a alguna o algunas cosas concretas, entonces nuestras deducciones son matemática. Así pues, la matemática se podría definir como la materia en la que nunca sabemos de qué estamos hablando, ni de si lo que estamos diciendo es cierto».

Aunque el hecho de que por todas partes haya personas que no saben de qué hablan ni si lo que están diciendo es cierto pudiera hacer pensar que el genio matemático es exuberante, la cita es un resumen sucinto, aunque exagerado, del enfoque axiomático formal de la matemática.