El lógico matemático Kurt Gödel fue uno de los gigantes intelectuales del siglo XX y, en el supuesto de que la especie se conserve, probablemente será una de las pocas figuras contemporáneas recordadas dentro de 1.000 años. Y aunque recientemente se hayan publicado algunos libros sobre él, esta opinión no es consecuencia de una campaña de promoción ni de una moda incipiente (aunque resulte infinitesimalmente más aceptable por el parecido entre las palabras «God», «Gödel» y «Godot»). Tampoco se trata de un caso de autocomplacencia por parte de los matemáticos, a pesar de que en todas las disciplinas sea corriente alentar una cierta miopía profesional. Sencillamente es verdad.
¿Quién fue Kurt Gödel? Su perfil biográfico no es nada complicado. Nació en 1906 en Brünn (en la actual Checoslovaquia), fue a la Universidad de Viena en 1924, donde permaneció hasta que en 1939 emigró a Estados Unidos. Vivió en Princeton, Nueva Jersey, y trabajó en el Instituto de Estudios Avanzados hasta su muerte. Durante los años treinta y principios de los cuarenta, descubrió unos resultados de lógica matemática que revolucionaron esa rama del saber. Su investigación también iluminó importantes áreas afines en la matemática, la informática y la filosofía.
El resultado más famoso, el llamado primer teorema de incompletitud, demuestra que cualquier sistema matemático formal que contenga un mínimo de aritmética es incompleto: siempre habrá enunciados que no serán demostrables ni refutables dentro del sistema, independientemente de lo elaborado que sea éste. Nadie podrá nunca escribir una lista de axiomas y pretender con razón que toda la matemática se deduce de ellos (tanto si esos axiomas ocupan todo un fajo de papel, como si ocupan una biblioteca entera de un millón de libros, o un trillón de chips de silicio para el que hubiera hecho falta toda la arena del Sahara). Haciendo una distinción rigurosa entre los enunciados del sistema y los metaenunciados acerca del sistema, empleando ingeniosas definiciones recurrentes y asignando códigos numéricos a los enunciados de la aritmética, Gödel pudo construir un enunciado aritmético que «dice» de sí mismo que es indemostrable y con él establecer su teorema. (No me extrañaría que Boris Pastemak tuviera en mente el teorema de Gödel cuando escribió: «Lo que está asentado, clasificado y demostrado nunca será suficiente para abarcar toda la verdad»).
Una demostración alternativa del teorema, debida al informático norteamericano Gregory Chaitin, emplea conceptos de la teoría de la complejidad (véase la entrada sobre La complejidad). En este caso, la proposición aritmética indemostrable «dice», por medio de un código numérico, que cierta sucesión aleatoria de bits tiene una complejidad mayor que la del sistema formal dado. Por consideraciones en el metanivel del sistema, se sabe que este hecho es verdadero, pero para que la proposición sea demostrable en el sistema, éste tendría que producir una sucesión de bits que tuviera una complejidad mayor que la suya propia. Y, por la definición de complejidad, esto es imposible.
Todo ello guarda relación con la llamada paradoja de Berry. Dice así: «Encontrar el menor número entero tal que para definirlo haga falta un número mayor de palabras que las que componen esta frase». Algunos ejemplos como el número de mis cabellos, el número de configuraciones posibles del cubo de Rubik o la velocidad de la luz en milímetros por siglo definen cada una de ellas un número entero concreto con menos palabras que la frase dada. El carácter paradójico de la frase de Berry se manifiesta cuando uno se percata de que ella misma define un número entero particular que, por definición, se especifica con demasiado pocas palabras. Aunque las dos demostraciones del teorema de Gödel aprovechan conocidas paradojas, la paradoja del mentiroso, en el caso de la demostración estándar, y la de Berry en la demostración de Chaitin, la teoría de la incompletitud no es en ella misma una paradoja en absoluto. Aunque parezca extraño, se trata de matemática legítima y sin problemas.
Debería mencionarse también que, a pesar de los arduos esfuerzos por demostrar lo contrario, el teorema no señala ninguna división fundamental entre cerebros y máquinas. Ambos están sujetos a limitaciones y condicionantes que, al menos en principio, son muy similares. A una máquina podemos incluso darle la capacidad de «mirarse desde fuera», formalizando su metalenguaje y, si hace falta, su metametalenguaje.
Los otros resultados fundamentales de Gödel tratan, entre otras cosas, del intuicionismo, la demostrabilidad y la consistencia de la matemática, y las funciones recurrentes. Más tarde, trabajó también en cosmología. Usando muchas de las ideas y elaboraciones de su primer teorema, su segundo teorema de incompletitud establece que ningún sistema matemático razonable puede demostrar su propia consistencia. Lo único que podemos hacer es suponérsela; no podemos demostrarla sin recurrir a hipótesis más fuertes que la de la propia consistencia.
Gödel tuvo una vida personal ascética, y las únicas evidencias externas de sus emociones o su personalidad son su largo matrimonio y sus periódicas depresiones, por las que tuvo que ser hospitalizado en varias ocasiones. En su juventud era algo menos solitario y se relacionó periféricamente con el Círculo de Viena, aunque no simpatizara con su positivismo. Pero, aparte de eso y su posterior amistad con Einstein en Princeton, tuvo pocos contactos sociales con sus contemporáneos. Sus relaciones con otros matemáticos se limitaban ante todo a los artículos, correspondencia y conversaciones telefónicas. Gödel nunca poseyó el compromiso apasionado de Bertrand Russell ni el fuerte sentido del humor de Einstein.
Tuvo, no obstante, otros focos de interés intelectual. Su trabajo le llevó a la convicción de que los números existían en algún dominio independiente del hombre, y que la explicación del espíritu no podía ser mecanicista, pues estaba separado de la materia y no podía reducirse a ella. Procedente de un ambiente luterano, Gödel no fue religioso en un sentido convencional, pero siempre mantuvo su teísmo y sostenía la posibilidad de una teología racional. Llegó a intentar la construcción de una variante del argumento ontológico medieval, según el cual la existencia de Dios es en cierto modo una consecuencia de nuestra capacidad de conceptualizarlo. Fue verdaderamente un gran lógico y tuvo que conocer momentos de intensa alegría intelectual. Sin embargo, un sensualista ordinario como yo no puede dejar de desear que hubiera sido un poquito más feliz en un sentido visceral: una salud mejor, un hijo, una aventura sentimental, algo físico.
Gödel murió en Princeton el 14 de enero de 1978, según el certificado de defunción, de «malnutrición e inanición» ocasionadas por «trastornos personales».