Recta, parábola y elipse
Como sucede con muchos descubrimientos fundamentales, la idea que llevó a la geometría analítica es, vista retrospectivamente, simple y evidente para todo el mundo, y en especial para los taxistas. En el lenguaje de los taxistas, esta idea se puede expresar así: a cada cruce le corresponde una calle y una avenida, y a cada pareja formada por una calle y una avenida le corresponde un cruce. En una formulación más matemática se dice que a cada punto le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto.
Inventada independientemente por el filósofo y matemático francés René Descartes y su compatriota, el abogado Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, la geometría analítica relaciona el álgebra y la geometría por medio de las correspondencias anteriores. El punto (3, 8), por ejemplo, es el punto que se encuentra 3 unidades a la derecha y 8 unidades por encima de un punto fijo que se llama origen. Los números 3 y 8 se llaman respectivamente coordenada X y coordenada Y del punto, e indican un punto distinto del designado por los números (8, 3), cuya posición está 8 unidades a la derecha del origen y 3 unidades por encima. Las coordenadas del origen son, como parece bastante natural, (0, 0). Para el taxista es muy clara la importancia del orden de los números, pues no es lo mismo (3, 8), Tercera Avenida y Calle 8, que (8, 3), Octava Avenida y Calle 3. La intersección de la primera avenida en dirección norte-sur (o eje Y en términos matemáticos) con la primera calle en dirección este-oeste (o eje X) se toma como punto de referencia del taxista u origen.
Aunque se trata de puntos completamente distintos, tanto (3, 8) como (8, 3) están a la derecha (al este) y por encima (al norte) del origen. Por convenio, los puntos que están a la izquierda (al oeste) o por debajo (al sur) del origen se representan por coordenadas negativas. Así, un punto 5 unidades a la izquierda y 11 unidades por encima del origen tiene coordenadas (−5, 11), otro 5 unidades a la izquierda y 11 unidades por debajo tiene coordenadas (−5, −11) y uno que esté 5 unidades a la derecha y 11 unidades por debajo, (5, −11). (No se ha de tomar Nueva York como modelo pues allí la numeración de las avenidas aumenta según se va hacia el oeste).
Bueno, ¿y qué? Si la geometría analítica sólo consistiera en esto, las universidades aprobarían automáticamente la asignatura a los taxistas que se matricularan en ellas. Pues bien, después de asociar puntos a pares ordenados de números, Descartes y Fermat observaron además, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas se correspondían con figuras geométricas. Por poner un ejemplo sencillo, notamos que el conjunto de puntos cuyas coordenadas X e Y satisfacen la ecuación Y = X forman una línea recta. Esto es, los puntos (1, 1), (2, 2), (3, 3), etc. (que satisfacen la ecuación Y = X) están sobre una recta que forma un ángulo de 45° con el eje X. Análogamente, los cruces de la Calle 1 y la Primera Avenida, la Calle 2 y la Segunda Avenida, la Calle 3 y la Tercera Avenida, etc., están sobre una recta (o paseo diagonal) que forma un ángulo de 45° con la primera calle este-oeste de referencia.
La gráfica de la ecuación Y = 2X se determina de un modo parecido, y es una recta que forma un ángulo mayor con el eje X Como los puntos (1, 2), (2, 4), (3, 6) satisfacen la ecuación (cada uno cumple que si se sustituye X por la coordenada X e Y por la coordenada Y, resulta una igualdad), las intersecciones de la Primera Avenida y la Calle 2, la Segunda Avenida y la Calle 4, la Tercera Avenida y la Calle 6, etc., caen sobre esa línea. Por supuesto, no hace falta que nos limitemos a los números enteros; (1,8, 3,6) también cae sobre dicha línea, igual que (2,7, 5,4), aunque ninguno de estos números corresponde a una intersección de calles y avenidas. Análogamente, la ecuación Y = 2X + 3 tiene una gráfica que pasa por los puntos (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3,1, 9,2), etc. Representando gráficamente dos ecuaciones con el mismo par de ejes coordenados, podemos encontrar donde se cortan. Este punto es lo que se llama solución simultánea de las dos ecuaciones, si bien, como la matemática es atemporal, sería más apropiado hablar de solución «homolocal».
Recta, parábola y elipse
Ecuaciones más complicadas dan lugar a curvas más interesantes (cuyos puntos siempre se pueden determinar encontrando pares ordenados de números que satisfagan la ecuación en cuestión). La gráfica de la ecuación Y = X2 es una curva denominada parábola, la de X2 + Y2 = 9 es una circunferencia, y la de 4X2 + 9Y2 = 36, una elipse. Por medio de estas técnicas que desarrollan esta aproximación algebraico-geométrica, los problemas de geometría se pueden reformular en términos algebraicos y, a la vez, se puede dar una interpretación geométrica a las relaciones algebraicas. La unificación resultante sirvió de marco para el desarrollo posterior del cálculo, en el siglo XVII, y dio lugar a una especie de lengua franca vigente aún hoy en día. (Vigente aún, podría añadir, incluso entre los taxistas de Nueva York, ya hablen persa, español, griego, hebreo o ruso. El origen de este símil de taxistas se remonta a una experiencia que viví cuando conducía un taxi siendo estudiante graduado en la Universidad de Wisconsin, en Madison. El encargado insistía en emplear la hora militar y las coordenadas matemáticas para guiar hacia sus destinos a los conductores neófitos, muchos de los cuales eran forasteros. El problema era que Madison es una ciudad emparedada entre cuatro lagos y no hay ningún sistema de coordenadas rectangulares, sino solamente diagonales curvilíneas cortando entre este lago y aquella península. Los conductores solían perderse hasta que llegó otro encargado, desconocedor de la geometría analítica, que les dirigía de un modo más convencional, mediante semáforos, almacenes y gasolineras).
Paraboloide
La generalización a tres dimensiones es inmediata. Así como cualquier punto del plano se puede pensar como un par ordenado de números, cualquier punto del espacio se puede pensar como una tema ordenada de números. El punto (4, 7, 5), por ejemplo, está 4 unidades al este, 7 unidades al norte y 5 unidades por encima de un cierto punto de referencia que tiene coordenadas (0, 0, 0); las coordenadas indican simplemente las distancias sobre los tres ejes X, Y y Z, respectivamente (en vez de sólo dos como en el plano). Volviendo a nuestra perspectiva de taxista, podemos imaginar que (4, 7, 5) está en el quinto piso de un edificio que hay en el cruce de la Cuarta Avenida con la Calle 7, mientras que (4, 7,-1) está en el sótano de este mismo edificio. Los puntos que satisfacen ecuaciones de tres variables describen superficies en el espacio en lugar de curvas en el plano. La gráfica de Z = X2 + Y2, por ejemplo, es un paraboloide, que tiene una forma parecida a una taza de café redondeada y sin asa, mientras que la gráfica de X2 + Y2 + Z2 = 25 es una esfera.
Hay generalizaciones para espacios de más dimensiones, y la idea de asignar números a cada una de las varias dimensiones de una entidad es algo archirrepetido en muchos contextos ajenos a la matemática. Así, el «vector» (4, 7, −1, 14) podría indicar el ya citado sótano del edificio de la Cuarta Avenida y la Calle 7 a las 2 de la tarde (14 horas), mientras que (4, 10, 9, 16) indicaría el 9.º piso de un edificio 3 manzanas más al norte y 2 horas después.
Al igual que nuestro sistema de numeración indo-arábigo, la geometría analítica y sus retoños son algo aparentemente tan natural, y por ello tan aceptado de antemano, que hay que hacer un auténtico esfuerzo para recordar que son inventos humanos y no aspectos innatos de nuestra naturaleza conceptual o biológica. (El gran filósofo alemán Immanuel Kant quizá no estaría de acuerdo con esta última observación, pero como todavía no hemos llegado a la geometría no euclídea, no vamos a prestarle atención por el momento).