El concepto de función es muy importante en matemáticas, pues representa de una manera formal la idea de poner en correspondencia una cantidad con otra. El mundo está lleno de cosas que dependen de, son función de o están asociadas a otras cosas (de hecho, se podría argumentar que el mundo consiste sólo en tales relaciones), y nos enfrentamos al problema de establecer una notación útil para esta dependencia matemática. Los siguientes ejemplos sirven para ilustrar una notación corriente. Las gráficas y las tablas nos proporcionan otras maneras de indicar estas relaciones. (Véase la entrada sobre Geometría analítica).
Consideremos un pequeño taller que se dedica a fabricar sillas. Sus costes son 80.000 ptas. (para gastos de equipo, pongamos por caso) y 3.000 ptas. por silla fabricada. Así, la relación entre el coste total, T, y el número de sillas fabricadas, X, viene dada por la fórmula T = 3.000 X + 80.000. Si queremos recalcar que T depende de X, decimos que T es función de X y denotamos simbólicamente esta asociación por T = f(X). Si se fabrican 10 sillas, el coste es 110.000 ptas.; si se fabrican 22, el coste sube hasta 146 000 ptas. La función f es la regla que asocia 110.000 a 10 y 146.000 a 22, lo cual se indica escribiendo f(10) = 110.000 y f(22) = 146.000. ¿Cuánto es f(37)?
La temperatura Celsius C se puede obtener a partir de la temperatura Farenheit F restando 32 a ésta y multiplicando la diferencia por 5/9. En forma de ecuación tenemos C = 5/9 (F − 32). Así, unos fríos 41° Farenheit se convierten en unos igualmente fríos 5° Celsius, mientras que unos suaves 86° Farenheit se traducen en otros igualmente suaves 30° Centígrados. Si sustituimos la temperatura Farenheit en esta fórmula podemos encontrar siempre la temperatura Celsius correspondiente. Como antes, si lo que queremos es recalcar que C depende de F, diremos que C es función de F y denotaremos esta relación por C = h(F). (Las gráficas de esta función y la anterior son líneas rectas). La función h es la regla que asocia 5 a 41 y 30 a 86, y esta correspondencia se expresa simbólicamente escribiendo h(41) = 5 y h(86) = 30. ¿Cuánto es h(59)?
O imagine que usted es un usurero que presta 100 ptas. a alguien y le dice que la cantidad que le adeuda aumentará en un 50% cada semana. Revisando las cuentas con sus socios, usted entiende que la cantidad, D, que le debe su amigo al cabo de N semanas es igual a 100 × (1,5)N; esto es, D = 100(1,5)N. Está claro que D es función de N, cosa que indicamos por D = g(N) (o mediante la gráfica de la función, una curva que crece exponencialmente). Está claro que g(1) = 150, g(2) = 225 y g(3) = 337,50. (Si usted es benévolo y sólo añade los intereses a intervalos semanales, la gráfica consistirá en una sucesión de escalones crecientes exponencialmente).
O considere el siguiente ejemplo extraído de la física. Desde un tejado de 80 metros de altura sobre el suelo, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 metros por segundo. Confíe en la palabra de Newton y acepte que la altura A de la bola sobre el nivel del suelo viene dada por la fórmula A = −5T2 + 20T + 80, donde T es el número de segundos transcurridos desde el instante en que se lanzó la bola. Como la altura depende del tiempo, A es función de T y se escribe A = s(T). Si sustituimos T = 0 en la fórmula, confirmamos que en el instante inicial A = 80. Dos segundos más tarde, T = 2, encontramos por sustitución en la misma fórmula que A =100. Por tanto s(0) = 80 y s(2) = 100. ¿Cuánto es s(5)? ¿Por qué es menor que s(2)?
Las funciones h, g y s anteriores son funciones lineal, exponencial y cuadrática, respectivamente, mientras que p(X) = 3tg(2X) y r(X) = 7X5 − 4X3 + 2X2 + 11 se llaman, respectivamente, trigonométrica y polinómica. Aunque las funciones no siempre están definidas por fórmulas y ecuaciones, ni tienen por qué indicar necesariamente relaciones entre números. Por ejemplo, si m(Elena) = rojo, m(Rebeca) = amarillo, m(Marta) = moreno, m(Jorge) = negro, m(Dorita) = dorado y m(Pedro) no está definido, no es difícil adivinar que m es la regla que a cada persona le asigna el color de su cabello y que Pedro es calvo. Así pues, m(X) denota simplemente el color de cabello de X. Análogamente, p(X) se podría definir como el autor de X y q(X) podría ser la capital de estado más próxima a X. En tal caso, p(Guerra y paz) = Tolstoi y q(Filadelfia) = Trenton, N. J.
En los ejemplos expuestos, el número de sillas fabricadas, la temperatura Farenheit, el número de semanas hasta que se salda la deuda, el número de segundos transcurridos desde que se lanza la bola y el nombre de la persona son lo que se llama la variable independiente. El coste total, la temperatura Celsius, la cantidad adeudada, la altura de la bola y el color del cabello de la persona son lo que se llama la variable dependiente. Una vez se ha fijado el valor de la variable independiente, el de la variable dependiente queda totalmente determinado y se dice que ésta es función de aquélla.
Cuando tenemos cantidades que dependen de más de una cantidad —esto es, cuando tratamos con funciones de más de una variable— se usan variantes de la misma notación. Si por ejemplo Z = X2 + Y2, entonces cuando X = 2 e Y = 3 tenemos Z = 13, y si queremos resaltar la dependencia de Z con respecto a X e Y, escribimos Z = f(X, Y) y 13 = f(2, 3).
La notación de la dependencia funcional es como una contabilidad, pero una contabilidad imprescindible. Nos permite expresar relaciones en forma abreviada. Gracias a ella podemos disponer fácilmente de una buena parte de la flexibilidad y potencia del análisis matemático.
[Respuestas a las preguntas: f(37) = 191.000; h(59) = 15; s(5) = 55 y s(2) = 100; en T = 2 la bola está subiendo y en T = 5, bajando].