Imágenes cada vez más detalladas de la Costa Este de Estados Unidos
Imagine que se encuentra al pie de una montaña sin vegetación. Que la ha subido y bajado y que, según sus estimaciones, la distancia andada es aproximadamente 10 kilómetros. Ahora bien, ¿qué pasaría si un gigante de 60 metros de altura hubiera de recorrer el mismo camino de ida y vuelta a la cumbre? Quizás sólo tendría que andar 5 kilómetros. Al ser tan alto podría saltar directamente algunos obstáculos que usted había tenido que subir y bajar. O, por el contrario, piense en un insecto que se arrastrara por el mismo camino. Quizá recorrería 15 kilómetros, pues tendría que subir y bajar por las piedras y pequeños obstáculos que usted simplemente había saltado.
Análogamente, suponga que un pequeño animal del tamaño de una ameba hubiera de culebrear por el mismo camino de ida y vuelta. Quizá recorrería 20 kilómetros, pues tendría que subir y bajar por grietas y protuberancias de las rocas y los guijarros, tan pequeñas que hasta el insecto habría podido saltar. Así pues, llegamos a la conclusión un tanto extraña de que la distancia hasta la cima de la montaña depende en buena medida de quien la recorre. Y otro tanto ocurre con el área de la ladera de la montaña: el animalito del tamaño de una ameba lo encontraría un dominio más espacioso para pasearse que el gigante, que con sus zancadas obvia los pequeños detalles de la superficie. Cuanto mayor es el escalador, más corta es la distancia y menor el área de la ladera. Ésta es una característica de los fractales, y la ladera de una montaña es un buen ejemplo de ellos.
El tronco de un árbol, por poner otro ejemplo típico de fractal, se ramifica en un número característico de ramas, cada una de las cuales, a su vez, se ramifica en el mismo número de ramas menores, que a su vez se dividen en el mismo número de ramas aún menores, y así hasta llegar al nivel de las ramitas. ¿Qué tiene esto en común con la superficie de una montaña?
Antes de pasar a la definición, consideremos una línea costera, un ejemplo más debido al matemático Benoît Mandelbrot, descubridor de la geometría fractal. Una estimación de la longitud de la Costa Este de Estados Unidos desde un satélite, por ejemplo, podría dar unos 4 500 kilómetros, más o menos. Si, por el contrario, nos basáramos en el estudio de mapas detallados que muestren los muchos cabos y golfos que se encuentran a lo largo de la costa, quizá nuestra estimación de su longitud aumentaría hasta los 13.500 kilómetros. Si no tuviéramos nada que hacer en un año y decidiéramos andar desde Maine a Miami manteniéndonos siempre a una distancia máxima de un metro o dos del Atlántico, la distancia que recorreríamos se aproximaría más a los 27.000 kilómetros. Aparte de los cabos y golfos, habríamos de tener en cuenta también los entrantes y salientes que no figuran en los mapas normales. Por último, si pudiéramos convencer a un insecto para que recorriera la costa (quizá nuestro amigo escalador prefiera estar al nivel del mar), dándole instrucciones para que no se separara del agua más de la distancia de un guijarro, quizás encontraríamos que la longitud de la costa es de casi 45.000 kilómetros. La costa es un fractal.
Imágenes cada vez más detalladas de la Costa Este de Estados Unidos
Y también lo es una famosa curva descubierta en 1906 por el matemático sueco Helge von Koch. Koch empezó con un triángulo equilátero y sustituyó cada lado por un segmento con una protuberancia en forma de triángulo equilátero en su tercio central. Repitió este procedimiento una y otra vez y en el límite obtuvo una extraña curva infinitamente ensortijada con forma de copo de nieve.
Ampliación de un estadio avanzado de la curva copo de nieve de Koch
¿Qué es un fractal? Es una curva o una superficie (o también un sólido o un objeto de más dimensiones) que presenta una complejidad mayor, aunque parecida, a medida que lo contemplamos de más cerca. La costa, por ejemplo, tiene una forma dentada característica a cualquier escala que la miremos; esto es, tanto si usamos imágenes de satélite para esbozar toda la costa como si empleamos la información mucho más detallada de una persona que recorra andando una pequeña sección de la misma. La superficie de la montaña presenta aproximadamente el mismo aspecto, tanto si se la mira desde les 60 metros del gigante como desde la altura del insecto. La ramificación del árbol tiene la misma apariencia para nosotros que para los pájaros o incluso para los gusanos y los hongos en el caso límite ideal de ramificación infinita. Igual que ocurre con la curva de Koch.
Ampliación de parte de un fractal debido a Benoît Mandelbrot
Por otra parte, como ha señalado también Mandelbrot, las nubes no son circulares ni elípticas, la corteza de un árbol no es suave, el relámpago no sigue una línea recta, y los copos de nieve no son hexagonales (aunque tampoco se parecen a las curvas de Koch). Antes bien, estas formas y muchas otras que se dan en la naturaleza son casi fractales y presentan unos entrantes, salientes, abolladuras, mellas y zigzags característicos a casi cualquier escala. A más ampliación se observan unas convoluciones semejantes y cada vez más complejas. Incluso hay una manera natural de asignar una dimensión fractal a esas figuras. Los fractales que se emplean en los modelos de costas tienen dimensiones comprendidas entre 1 y 2 (más que una recta y menos que un plano), mientras que los que sirven para hacer modelos del relieve tienen dimensiones entre 2 y 3 (más que un plano y menos que un sólido). Las fotografías de la NASA indican que la dimensión fractal de la superficie terrestre es 2,1, mientras que la de Marte, con una topografía más rugosa y más «lanuda», es 2,4. El término «fractal», acuñado por Mandelbrot en 1975, es una expresión apropiada para esas figuras fragmentadas, fracturadas y autosemejantes de dimensión fraccionaria.
Además de ser de gran ayuda en infografía, donde se usan para producir paisajes y formas naturales verosímiles, los fractales surgen frecuentemente al analizar una estructura fina: de la superficie de los electrodos de una pila, del interior esponjoso de los intestinos y del tejido del pulmón, de la variación temporal de los precios de una determinada mercancía o en la difusión de un líquido a través de una arcilla semiporosa. Con su bella e intrincada complejidad a todos los niveles y escalas de ampliación, los fractales juegan un papel cada vez más importante en la teoría del caos (véase la entrada sobre La teoría del caos), donde se emplean para describir el conjunto de posibles trayectorias de un sistema dinámico. Su grotesca elegancia es también patente en contextos puramente matemáticos. Una ecuación dada, por ejemplo, divide el plano en varias regiones, según la raíz a la que converja el método de Newton aplicado a cada uno de sus puntos. Las fronteras que separan estas regiones son fractales asombrosamente complejos.
Puede que algún día los novelistas descubran que un análogo de los fractales en el «espacio psíquico» puede servir para captar la estructura fracturada aunque coherente de la consciencia humana, cuyo foco de interés puede pasar casi instantáneamente de las trivialidades de un instante a las verdades eternas del siguiente, conservándose la misma persona en los distintos niveles. (Véase la entrada sobre La conciencia humana y su naturaleza fractal). En este sentido, las transcripciones literales de las conversaciones ordinarias son muy reveladoras. Las paradas, los arranques, las elipsis, la rara sintaxis, las referencias vagas, las disgresiones sin motivo y los repentinos cambios de dirección no tienen nada en común con la aséptica versión «lineal» que normalmente sale de la imprenta. Quizás haya algún modo de que los conceptos anteriores sean útiles también en psicología cognitiva. La dificultad de una disciplina, por ejemplo, se podría tomar como un fractal, de modo que los más brillantes y/o capaces pudieran superar con grandes zancadas cognitivas las pequeñas dificultades que otros, menos dotados, han de escalar pacientemente.