¿Qué son los números, los puntos y las probabilidades? ¿De qué naturaleza es la verdad matemática? ¿Por qué es útil la matemática? Éstas son algunas de las preguntas cuyas respuestas no encontrará aquí. No obstante, intentaré presentar un par de asuntos relacionados con ellas.
El observador más despreocupado se da cuenta de que los teoremas matemáticos no se confirman del mismo modo que las leyes físicas. Parecen ser verdades necesarias, mientras que las afirmaciones de las ciencias empíricas (la física, la psicología y la cocina) parecen depender completamente de la manera en que el mundo es realmente. Al menos desde un punto de vista conceptual, las leyes de los gases de Boyle y la historia del Imperio austrohúngaro podrían haber sido fácilmente otras, mientras que no se puede decir lo mismo de la afirmación 25 = 32.
Pero ¿de dónde viene la certeza y la necesidad de la verdad matemática? Los matemáticos en activo no suelen preocuparse por este asunto pero, si se les aprieta, la mayoría contestarán probablemente algo así como: los objetos matemáticos existen independientemente de nosotros y las afirmaciones sobre ellos son verdaderas o no independientemente de nuestro conocimiento y de nuestra capacidad de demostrarlas. Imagino que tales objetos existen en algún mundo platónico más allá del tiempo y el espacio. Pero si es así, ¿cómo encontramos verdades sobre tales objetos y los hechos que a ellos atañen?
La respuesta de Immanuel Kant era que la matemática (o al menos sus axiomas fundamentales) era conocible a priori por la sola intuición y que su necesidad era evidente. Los intuicionistas contemporáneos, sin suscribir las ideas kantianas acerca del espacio, el tiempo y el número, también basan la necesidad de la matemática en la indudabilidad de las actividades mentales simples. Algunos incluso llegan a desacreditar las demostraciones de la existencia de un objeto a menos que se dé un procedimiento constructivo que permita encontrarlo.
A muchos otros filósofos de la matemática les molesta tanto el subjetivismo de Kant como la insostenibilidad del platonismo ingenuo. Los llamados logicistas, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead y Gottlob Frege, trataron de demostrar que la matemática se podía reducir a la lógica y por lo tanto era tan cierta como la simple proposición «A o no A», y que en el fondo los enunciados matemáticos no eran sino maneras tortuosas de decir «A o no A». Su esperanza era encontrar así una garantía de la certeza de los enunciados matemáticos, pero no acabaron de lograrlo del todo. Lo que llamaban lógica contenía ideas de la teoría de conjuntos que eran precisamente tan problemáticas como los enunciados matemáticos que se seguían de ellas.
La respuesta convencionalista a la pregunta fue que la matemática alcanzaba su necesidad por convenio, por fiat y por definición. Sus verdades no eran más que cuestión de convenio y, por tanto, no eran ni más ni menos oscuras que el hecho de que 5 pesetas sean un duro. Con un enfoque parecido, los filósofos formalistas sostenían que los enunciados matemáticos no hacen referencia a nada, sino que sólo son sucesiones de símbolos gobernadas por reglas, exactamente igual que las reglas del ajedrez rigen el movimiento de las piezas sobre el tablero. Que el movimiento del caballo sea dos cuadros en una dirección y uno en perpendicular es algo necesario pero no misterioso.
La suficiencia con que dan por concluida la cuestión estas últimas posiciones es atractiva al principio, pero son absolutamente incapaces de explicar lo que el Premio Nobel Eugen Wigner dio en llamar «la irrazonable eficacia de la matemática» en la descripción de la realidad. Otros filósofos replican que la correspondencia entre las estructuras matemáticas y la realidad física no es en absoluto «irrazonable». Es, según ellos, no muy distinta de la razonable correspondencia entre los distintos sentidos biológicos (vista, oído, olfato, gusto y tacto) y los aspectos de la realidad física. La percepción matemática sería una especie de sexto sentido abstracto.
De dónde viene la necesidad de la matemática y si los números son construcciones mentales, facetas de una realidad idealizada o sólo símbolos que se rigen por unas reglas, son temas que han resonado bajo diversas formas a lo largo y ancho de toda la historia de la filosofía. En la Edad Media, por ejemplo, los protagonistas de la batalla eran los idealistas, los realistas y los nominalistas, y sus posiciones acerca de la naturaleza de los universales como la Rojez y la Triangularidad eran en cierto modo análogas a las que sostienen los intuicionistas, logicistas (o platónicos) y formalistas de hoy. (Véanse también las entradas sobre Geometría no euclídea, Probabilidad y Sustituibilidad).
Estos asuntos trascienden la matemática. Están íntimamente relacionados, por ejemplo, con la distinción filosófica entre verdades analíticas y verdades sintéticas. Una proposición analítica es verdadera en virtud del significado de las palabras que la forman, mientras que la veracidad de una proposición sintética se da en virtud del modo como son las cosas. (Un tipo especial de afirmaciones analíticas, las lógicamente válidas, son verdaderas en virtud del significado de las partículas lógicas «y», «o», «no», «si…, entonces…», «algún» y «todo». Las afirmaciones que son verdaderas en virtud de las cuatro primeras de estas partículas lógicas se llaman tautologías. Véanse las entradas sobre Cuantificadores y Tautologías).
Así, «Si Pedro huele mal y es desdentado, entonces huele mal» es una proposición analítica, mientras que «Si Pedro huele mal, entonces es desdentado» es sintética. Otros ejemplos del mismo antagonismo son «Los solteros son hombres no casados» frente a «Los solteros son hombres lujuriosos» y «Los ovnis son objetos voladores que no han sido identificados» frente a «En los ovnis viajan unas criaturas verdes». Los filósofos cuentan las verdades matemáticas entre las analíticas y la mayoría de las demás entre las sintéticas, y, aunque no sea inamovible, esta distinción es un recurso conceptual práctico. Cuando el pomposo médico de Molière dice que la poción soporífera es eficaz gracias a su poder adormecedor, enuncia una frase vacía y analítica, y no de tipo objetivo y sintético.
Al moverse en tomo a cuestiones de verdad trascendente y certidumbre, la filosofía de la matemática tiene también una cierta resonancia con el pensamiento religioso. ¿Por qué razón si no, un agnóstico convencido como yo habría empleado con tanta frecuencia palabras como «divino», «sacerdotal», «cielo», «pureza» y «reverencia» en estas entradas? Las semejanzas son generalmente metafóricas, pero a veces las metáforas determinan las actitudes y los actos.
Por último, sea cual sea el «ismo» al que uno se adhiera (o del que se proteja), los teoremas de incompletitud de Gödel (véase la entrada sobre Gödel) barajaron los naipes filosóficos y obligaron a todas las partes a recomponer sus respectivos juegos. La existencia de proposiciones indemostrables indica, por ejemplo, que la verdad de las mismas no puede radicar únicamente en su demostración a partir de los axiomas. Más aún, la misma consistencia de una teoría matemática es una de las proposiciones que no se pueden demostrar sino que simplemente hay que suponer (o aceptar por la fe, si se prefiere este lenguaje).