Muchas personas que se entretienen jugando con números han descubierto que los números 3, 4 y 5 tienen la interesante propiedad de que 32 + 42 = 52. Algunos sin duda han descubierto también que hay otras temas de números con esta misma propiedad. Otros dos ejemplos son las ternas 5, 12, 13 y 8, 15, 17, que satisfacen las ecuaciones 52 + 122 = 132 y 82 + 152 = 172. Se ha demostrado que hay una infinidad de ternas pitagóricas como éstas.
Al tratarse de una propiedad tan simple y natural, los matemáticos se han preguntado si sería posible generalizarla. Han investigado, en particular, si hay temas de números enteros X, Y, y Z tales que satisfagan que X3 + Y3 = Z3, y no han encontrado ninguna. Han buscado temas de números X, Y, y Z que fueran solución de X4 + Y4 = Z4, y tampoco han encontrado ninguna. De hecho ni los matemáticos ni nadie que se distraiga jugando con números ha encontrado nunca un conjunto de tres números enteros X, Y y Z ni ningún número entero N mayor que 2 tales que satisfagan la ecuación XN + YN = ZN.
El gran matemático del siglo XVII Pierre Fermat (que debería ser recordado por sus importantes contribuciones a la teoría de los números, la geometría analítica y la teoría de la probabilidad) escribió que este fracaso tenía sus buenas razones: no existen números enteros X, Y y Z tales que XN + YN = ZN para ningún número entero N mayor que 2. Fermat lo demostró para N = 3 y en una página de un texto clásico griego sobre teoría de los números anotó que tenía una elegante demostración del teorema general, pero que en el margen de la página no tenía suficiente espacio para reproducirla. Probablemente su demostración fuera incorrecta, pero nadie más la encontró, ni nadie ha conseguido tampoco, en los tres siglos transcurridos desde su muerte, encontrar otra demostración del resultado general que se conoce como el último teorema de Fermat. Se han encontrado muchos resultados parciales (el dominio de valores de N para los que no existen soluciones ha ido ampliándose sin cesar) y recientemente se han propuesto algunas argumentaciones que casi demuestran el teorema[6] La importancia matemática del teorema no es inherente al teorema en sí (que sólo es una curiosidad), sino que radica en toda la teoría algebraica de los números descubierta e inventada a raíz de los esfuerzos por demostrarlo. El teorema se parece más a una mota de carbonilla en el ojo que a un diamante auténtico o, cambiando la metáfora del carbono por otra de silicio, un grano de arena en una ostra cuya irritante presencia acabará por producir una perla. (Una cuestión teórica más sustanciosa fue planteada a principios de este siglo por el matemático alemán David Hilbert como parte de su famosa lista de problemas pendientes. Además de las interrogantes sobre la hipótesis del continuo de Cantor, la consistencia de la aritmética y otras cuestiones abstractas, Hilbert se preguntó si existía algún método general para determinar si los polinomios arbitrarios de varias variables —como 3X2 + 5Y3 − 21X5Y = 12— tenían soluciones enteras. Recientes avances de la lógica han demostrado que puede que dicho método no exista).
Aunque todavía no haya sido demostrado, hay consenso en que el último teorema de Fermat es cierto. Con todo, si resulta ser falso, lo único que hace falta para demostrar su falsedad es un sólo contraejemplo: una terna de números enteros X, Y y Z y algún número entero N mayor que 2 tal que: XN + YN = ZN. ¿Alguna sugerencia para probar? [Y, como despedida, unos cuantos ramalazos de lógica cuya omisión pudiera ser especialmente provechosa para el lector. El párrafo anterior demuestra que, debido a su forma, si el último teorema de Fermat es falso, entonces es refutable. Por tanto, si no es refutable, es verdadero. Así pues, si es indecidible (ni demostrable ni refutable), es verdadero. Y podremos concluir que, si el último teorema de Fermat es una proposición aritmética indecidible (y hay muchas: véase la entrada sobre Gödel), entonces es verdadero. Este razonamiento hipotético no arroja ninguna luz sobre la verdad o falsedad del teorema. Es curioso, sin embargo, que a partir de un conocimiento metamatemático de una insuficiencia de la aritmética, podamos deducir la veracidad de un simple enunciado aritmético].