El análisis (el cálculo infinitesimal y sus descendientes) ha sido una de las ramas predominantes de la matemática desde que fue inventado por Newton y Leibniz. Las ecuaciones diferenciales son su núcleo principal. Esta materia ha sido tradicionalmente la clave para comprender las ciencias físicas y, en los temas más profundos sugeridos por ella misma, ha sido el origen de muchos de los conceptos y teorías que constituyen el análisis superior. Es también una de las herramientas prácticas esenciales de que disponen los científicos, los ingenieros, los economistas y otros para manejar tasas de variación. (Una de sus cualidades peor conocidas es el placer menor que produce a algunos estudiantes de segundo año de matemáticas cuando hablan de su curso de difi-q.[5] Una vez conocí a un estudiante de farmacia que escogió esta asignatura porque le encantaba pasarse el día diciendo difi-q).
La derivada de una cantidad (véanse las entradas sobre Cálculo y Funciones) es una función matemática que mide la tasa de variación de dicha cantidad. Por ejemplo, si lanzamos una bola al aire, la derivada de su altura respecto del tiempo es su velocidad. Si C es el coste de producción de X artículos, la derivada de C con respecto a X es el coste marginal de producir el X-ésimo artículo. Las derivadas de orden superior —verbigracia, la derivada de la derivada— miden a qué velocidad cambian las propias tasas de variación. Aunque las ecuaciones en las que intervienen derivadas quizá deberían llamarse ecuaciones derivadas, se llaman ecuaciones diferenciales. Y así como la idea de la resolución de ecuaciones algebraicas es determinar un número a partir de ciertas condiciones que debe satisfacer, resolver una ecuación diferencial consiste en determinar el valor de una cantidad variable en cualquier instante de tiempo a partir de ciertas condiciones sobre la derivada (y las derivadas de orden superior) de dicha cantidad. Dicho llanamente, el estudio de las ecuaciones diferenciales se ocupa de los métodos y técnicas para determinar el valor de una cantidad en cualquier instante cuando se conoce cómo cambian dicha cantidad y otras relacionadas con ella.
Veamos algunos ejemplos de situaciones que conducen a ecuaciones diferenciales: Nicolae parte al mediodía de Bucarest en dirección oeste y mantiene una velocidad constante de 80 kilómetros por hora; determinar su posición en cualquier instante de esa tarde. Un gran depósito contiene 400 litros de agua en la que se han disuelto 100 kilogramos de sal; si entra agua pura a razón de 12 litros por minuto y la mezcla, que es agitada para que se mantenga uniforme, fluye fuera del depósito a razón de 8 litros por minuto ¿cuánto tiempo ha de transcurrir para que el contenido de sal del depósito sea de 50 kilogramos? Un conejo corre en dirección este a 7 kilómetros por hora, y 1.000 metros al norte de la posición inicial del conejo hay un perro que empieza a perseguirlo a 9 kilómetros por hora dirigiéndose siempre hacia el conejo; determinar la trayectoria seguida por el perro. Una cuerda elástica ideal está atada por ambos extremos y tiramos de ella, encontrar su posición en cualquier instante posterior. [La ecuación correspondiente a este último caso es importantísima en física; para aquellos interesados en ella, es Y''(X) + KY(X) = 0, donde Y''(X) (o, en una notación alternativa, d2Y/dX2) indica la segunda derivada de Y(X), la desviación de la cuerda relativamente a su posición de equilibrio en cualquier punto X de la misma].
Las derivadas primera y segunda de una cantidad tienen significados marcadamente distintos. Si la cantidad en cuestión es una distancia o una altura, la primera derivada es su velocidad y la segunda su aceleración. Como los problemas de la física no son comentes en la vida cotidiana, consideraremos el siguiente ejemplo tomado del telediario: Con voz sonora, el comentarista de televisión informa que determinado índice económico sigue subiendo, aunque no tan rápidamente como el mes pasado.
Quizá sin saberlo está diciendo que la derivada del índice es positiva (la tasa de variación del índice es positiva), pero la derivada segunda del índice es negativa (la tasa de variación de la tasa de variación del índice es negativa). El alza está «llegando a un máximo». Siguiendo bastante más allá por este camino se llega a conjuntos de ecuaciones diferenciales que relacionan los valores, sus tasas de variación y las tasas de las tasas de variación de varios indicadores económicos. Estos conjuntos de ecuaciones constituyen un modelo econométrico y se pueden manejar para hacerse una idea de cómo funciona el mundo real.
Al aplicar las ecuaciones diferenciales a menudo nos interesa introducir más de una variable; a veces no conocemos como cambia una cantidad con respecto al tiempo sino como cambia con respecto a alguna otra variable; muchas situaciones sólo se pueden describir mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales interrelacionadas. Los progresos matemáticos realizados en el tratamiento de estos problemas durante los últimos 300 años se cuentan entre las mayores glorias de la civilización occidental. Las leyes del movimiento de Newton, la ecuación del calor de Laplace y la ecuación de ondas, la teoría del electromagnetismo de Maxwell, la ecuación de Navier-Stokes de la dinámica de fluidos y los sistemas depredador-presa de Volterra no son más que una pequeña parte de los muchos frutos que han dado estas técnicas (aunque, tristemente, la mayoría de sus autores son desconocidos para cualquier persona medianamente instruida).
En los últimos tiempos la investigación ha abandonado este campo clásico de las difi-q. Ahora se concentra más en las aproximaciones y el cálculo numérico, y no tanto en los métodos tradicionales en los que intervienen los límites y procesos infinitos.