Más universal aún que la conocida novela La historia de O y que las historias kafkianas del Señor K es La historia de E. (Ya sé que es un comienzo estrafalario, pero todo el mundo tiene derecho a sus propias rarezas). Comparable a n en cuanto a importancia matemática y escrito a menudo en una modesta minúscula, e es aproximadamente igual a 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497. A continuación esbozaré algunas de sus propiedades.
El número e fue introducido por el matemático suizo Leonhard Euler a mediados del siglo XVIII y, a primera vista, su definición tradicional puede parecer misteriosa. El número se define como el límite de la sucesión de términos (1 + 1/N)N cuando el entero N se hace más y más grande. Cuando N es 2, la expresión anterior es (1 + 1/2)2, o lo que es lo mismo (3/2)2, es decir 2,25; para N igual a 3, es (1 + 1/3)3, o (4/3)3, que da 2,37; para valores sucesivos de N es (1 + 1/4)4, o (5/4)4, que da 2,44, luego (6/5)5, (7/6)6, …, (101/100)100, etc. El valor de e es el límite de esta sucesión de números. Así pues, es muy próximo a (10.001/10.000)10.000, que es igual a 2,718145, pero es aún más próximo a (1.000.001/1.000.000)1.000.000.
Aunque sea un tanto abstracta, esta definición encierra la clave del papel de e en los cálculos bancarios y de interés compuesto. (Véase también la entrada sobre Crecimiento exponencial). Mil dólares invertidos al 12% se convierten al cabo de un año en 1.000 × (1 + 0,12) dólares. Si se invierten a interés compuesto semestral, se convierten en 1.000 × (1 + 0,12/2) dólares al cabo de seis meses (pues el 12% anual equivale al 6% semestral), y en 1.000 × (1 + 0,12/2) × (1 + 0,12/2), o 1000 × (1 + 0,12/2)2 dólares al final del año. Si se trata de interés compuesto trimestral, se convierten en 1000 × (1 + 0,12/4) dólares al final del primer trimestre (pues el 12% anual equivale al 3% trimestral), 1.000 × (1 + 0,12/4)2 dólares al final del segundo trimestre, y en 1000 × (1 + 0,12/4)4 al final del año. Si seguimos así y calculamos el interés compuesto N veces al año, al final de dicho año el dinero se habrá convertido en 1.000 × (1 + 0,12/N)N dólares. Nótese que, excepto porque tiene 0,12 en vez de 1, el último factor es idéntico a la definición de e. Unos pocos cálculos matemáticos entre bastidores muestran que a interés compuesto diario (N = 365) ese dinero se convierte al cabo del año en 1.000 × e0,12 dólares y en 1.000 × e0,12T dólares al cabo de T años. A propósito, la función exponencial Y = eT, en términos de la cual se expresa el crecimiento exponencial, es una de las más importantes en matemáticas.
Hay otras definiciones de e, todas ellas equivalentes, por supuesto, y todas ponen de manifiesto (con un poco de abracadabra) el carácter natural de este número. Por ésta y otras razones relacionadas con el cálculo, el número e es la base del sistema de logaritmos naturales. Para aclarar esta afirmación hay que extenderse un poco en el análisis de un tema tan desagradable como los logaritmos. El logaritmo vulgar o decimal de un número no es más que la potencia a la que hay que elevar 10 para obtener el número en cuestión. El logaritmo decimal de 100 es 2 puesto que 102 = 100 [así pues log(100) = 2]; el logaritmo decimal de 1.000 es 3, pues 103 = 1000, y el logaritmo decimal de 500 es 2,7, pues 102,7 = 500.
Por su parte, el logaritmo natural de un número es la potencia a la que hay que elevar e para obtener dicho número. Así, el logaritmo natural de 1.000 es aproximadamente 6,9 porque e6,9 = 1.000 [o de otro modo, ln(1.000) = 6,9]; el logaritmo natural de 100 es 4,6 pues e4,6 = 100, y el logaritmo natural de 2 es 0,7 porque e0,7 = 2. Se puede demostrar (una manera matemática de decir «Creedme») que este último número, el logaritmo natural de 2, tiene un papel importante en el mundo de las finanzas: dividiendo 0,7 por el rédito se obtiene el número de años que tarda en doblarse el dinero invertido. Así, con réditos del 10% ó del 14% (0,10 y 0,14) se tarda respectivamente 7 o 5 años (0,7/0,1 = 7 y 0,7/0,14 = 5). Pero en vez de explicar por qué esto es así, o qué es exactamente lo natural de los logaritmos naturales, explicaré algunos modos en los que el número e se da en otros contextos comunes. (Y, desde luego, como los logaritmos decimales se basan en el hecho accidental de que tengamos 10 dedos, no podemos pretender en modo alguno que sean matemáticamente naturales).
Imaginemos un departamento de una universidad que va a entrevistar sucesivamente a N candidatos para un puesto de profesor ayudante. Al final de cada entrevista, el departamento ha de decidir si el candidato entrevistado es el idóneo. Supongamos que si se descarta a un cierto candidato, no se le puede reconsiderar después, y que, si se llega al último candidato, hay que escogerlo por necesidad. Con el fin de maximizar las probabilidades de escoger al mejor, el departamento decide la siguiente estrategia: escoge cuidadosamente un número K < N, entrevista a los primeros K candidatos y los rechaza, y luego sigue con las entrevistas hasta encontrar un candidato mejor que todos los que le han precedido. Y contrata a esa persona.
Esta estrategia no siempre funciona. Unas veces el mejor candidato estará entre las primeras K personas rechazadas, y otras el mejor candidato vendría después del que se ha contratado. Sin embargo, y dadas estas condiciones, se puede demostrar que la estrategia óptima consiste en tomar K igual a (N × 1/e), donde 1/e es aproximadamente 0,37 o el 37%. Así, si hay 40 candidatos y se entrevistan al azar, la mejor estrategia consiste en rechazar sin más a los 15 primeros (el 37% de 40) y, a partir de ahí, aceptar al primer candidato que sea mejor que todos sus predecesores. La probabilidad de elegir al mejor candidato por este método es también, aunque suene extraño, 1/e o el 37%. Ninguna otra estrategia da una probabilidad de éxito mayor del 37%. Argumentos similares se manejan en estrategias parecidas de elección de esposa, aunque en esta situación las condiciones del enunciado del problema son menos naturales.
Tenemos otra aparición inverosímil del número e cuando una secretaria mezcla 50 cartas distintas y sus 50 sobres con las direcciones respectivas. Si mete las cartas en los sobres al azar, se podría preguntar: ¿cuál es la probabilidad de que al menos una carta esté en el sobre que le corresponde? Por razones no muy fáciles de explicar, el número e interviene también en la solución a este problema. La probabilidad de que haya al menos una coincidencia es (1 − 1/e), o aproximadamente el 63%. Otros enunciados que dan el mismo resultado son el de levantar un par de cartas de dos mazos que se han barajado por separado, o el de los sombreros ordenados al azar y los correspondientes resguardos en el guardarropa de un restaurante.
El número e también aparece inesperadamente en situaciones en las que nos interesamos por el establecimiento de algún récord. A modo de ilustración, imaginemos una región de la Tierra que ha tenido el mismo clima durante eones. Con todo, la pluviosidad anual de esta región presentará fluctuaciones estadísticas. Si tuviéramos que empezar a partir de la pluviosidad del año 1, veríamos que los récords de pluviosidad se dan cada vez menos a medida que pasan los años. La pluviosidad del año 1 constituiría, naturalmente, un récord, y quizá la del año 4 sería superior a la de los tres años anteriores, con lo que se establecería un nuevo récord. Probablemente tendríamos que esperar hasta el año 17 para que la pluviosidad superara la de los 16 años anteriores y se estableciera un nuevo récord. Si siguiéramos registrando las precipitaciones anuales por otros 10.000 años, nos encontraríamos con que sólo se bate el récord de pluviosidad unas 9 veces. Y, si consideráramos un período de un millón de años, probablemente nos encontraríamos con que el récord se bate 14 veces.
No es ninguna coincidencia que la raíz 9.ª de 10.000 y la raíz 14.ª de 1.000.000 sean aproximadamente iguales a e. Si al cabo de N años se ha batido R veces el récord de pluviosidad, la raíz R-ésima de N será una aproximación a e, que será tanto más aproximada cuanto mayor sea N. (El número N ha de ser suficientemente —esto es, enormemente— grande para tener aproximaciones precisas).
A pesar de ser irracional (imposible de expresar como cociente de dos números enteros y, por tanto, no tener una expresión decimal periódica) y trascendente (no es la solución de ninguna ecuación algebraica), e es omnipresente en las fórmulas y teoremas matemáticos. Está íntimamente relacionado con las funciones trigonométricas, las figuras geométricas, las ecuaciones diferenciales, las series infinitas y muchas otras ramas del análisis matemático. La inverosímil trinidad literaria del principio sólo era un intento egregio de sugerir de una manera no matemática la enorme importancia de e.