¿Es lo mismo engañar a todos un momento que engañar a algunos todo el rato? Para resolver esta punzante cuestión, nos concentraremos en los significados de «todos» y «algunos». La lógica preposicional elemental (véase la entrada sobre Tautologías) se puede considerar como el estudio completo de ciertas expresiones lógicas básicas: «si…, entonces…», «si y sólo si», «y», «o» y «no». Si añadimos a la lista «todo», «existe», «todos» y «algún», tenemos lo que se conoce como lógica predicativa, un sistema lógico que permite formalizar todo el razonamiento matemático. Estas últimas expresiones son lo que generalmente se llama cuantificadores (aunque quizá debieran llamarse cualificadores, pues no cuantifican mucho que digamos) y se usan para transformar formas relaciónales en proposiciones declarativas. Así, la forma «X es calvo» se puede cuantificar universalmente de modo que diga «Todo X es calvo» o particularmente como «Algún X es calvo».
Consideremos la forma misantrópica «X odia a Y» en la que cada variable se puede cuantificar independientemente. Si ambas se cuantifican universalmente, se convierte en «Para todo X, para todo Y, X odia a Y», o dicho de un modo más natural «Todo el mundo odia a todo el mundo». Si la primera variable se cuantifica universalmente y la segunda existencialmente, tenemos «Para todo X, existe un Y (tal que) X odia a Y», o «Todo el mundo odia a alguien». Si cambiamos el orden de los cuantificadores en la frase anterior, obtenemos «Existe un Y (tal que) para todo X, X odia a Y» o, más coloquialmente, «Hay alguien odiado por todos». Si cuantificamos existencialmente la primera variable y universalmente la segunda, el resultado es «Existe un X (tal que) para todo Y, X odia a Y», que en un español algo más claro reza «Hay alguien que odia a todo el mundo (incluso a sí mismo)». Y si ambas variables se cuantifican existencialmente, tenemos «Existe un X, existe un Y (tales que) X odia a Y», o «Alguien odia a alguien».
(El símbolo de «para todo» o «todo» es una A invertida y el de «existe» o «algún», una E al revés. Así, si simbolizamos «X odia a Y» por «H(X, Y)», entonces «Todo el mundo odia a alguien» se escribe simbólicamente «∀X ∃Y H(X, Y)», mientras que «Hay alguien odiado por todos» y «Hay alguien que se odia a sí mismo y a todos los demás» se convierten en «∃Y ∀X H(X, Y)» y «∃X ∀Y H(X, Y)», respectivamente. ¿Cómo se escribiría «Todo el mundo es odiado por alguien»?
La manipulación formal de los cuantificadores es especialmente importante en matemáticas donde podemos encontrarnos con una hilera de varios de ellos y es muy distinto «Para todo X existe un Y tal que para todo Z…» de «Existe un Z tal que para todo X hay un Y…». Un cuantificador mal colocado puede convertir una función continua en uniformemente continua, si usted sabe lo que quiero decir (y si no lo sabe también). Esos malabarismos son algo menos importantes en la vida cotidiana, pues el conocimiento del contexto de una frase permite evitar que se propaguen los errores. Es improbable, por ejemplo, que «Para cada X, existe un Y tal que Y es la madre de X» se confunda con «Para todo Y, existe un X tal que Y es la madre de X». Mientras la segunda frase dice que todo el mundo es madre, la primera es la perogrullada de que todo el mundo tiene una madre. No habrá mucha gente que se crea lo que resulta de otras permutaciones posibles de los cuantificadores: «Existe un Y tal que para todo X, Y es la madre de X» («Hay alguien que es la madre de todos») y «Existe un X tal que para todo Y, Y es la madre de X» («Hay una persona tal que todo el mundo es su madre»).
Una situación en la que frecuentemente la gente se hace un lío con los cuantificadores en la vida cotidiana es en las negaciones. Si Jorge le cuenta que todos los habitantes de la isla miden más de 2 metros, y usted quiere negarlo, simplemente dirá que alguien de la isla mide menos de 2 metros; no hace falta que todo el mundo mida menos de 2 metros. Para negar que hay alguien con todos los dientes de oro basta con decir que todo el mundo tiene al menos un diente que no es de oro.
El lenguaje hablado, al contrario que las matemáticas, es a menudo ambiguo, y traducir una frase del lenguaje hablado al lenguaje formal es a menudo un problema espinoso, especialmente si es metafórica. «No es oro todo lo que reluce», por ejemplo, tiene dos formalizaciones completamente distintas, igual que «Se come a todo el mundo» pronunciado por caníbales. Hasta el simple copulativo «es» del español corriente tiene distintas traducciones en la lógica. Compárense sus acepciones en las frases siguientes. En «Paco Rabal es Juncal» tiene el significado de identidad: R = J. En «Jorge es tonto» indica predicación: J tiene la propiedad T, o T(J). En «El hombre es racional» significa inclusión: Para todo X, si X tiene la propiedad de ser un hombre, entonces X tiene la propiedad de ser racional, o simbólicamente: ∀X[H(X) → R(X)].
Volviendo a la cuestión del principio, notemos que engañar a algunos todo el tiempo es aprovecharse de un grupo especialmente crédulo a los que seguro que se engaña siempre, mientras que engañar a todo el mundo por un rato es perseverar en los propios trucos de timador convencido de que a la larga todo el mundo picará. Por último, la expresión formal de «Todo el mundo es odiado por alguien» es «∀Y ∃X H(X, Y)».