Llega usted al hotel, acalorado, sudoroso e impaciente. Su humor no mejora cuando el recepcionista le dice que no sabe nada de su reserva y que el hotel está lleno. «Me temo que no puedo hacer nada por usted», salmodia oficiosamente el empleado. Si usted tiene ganas de discutir, podría informar al recepcionista, en un tono igualmente oficioso, que el problema no es que el hotel esté lleno, sino que además de estar lleno es finito. Le podría explicar que si el hotel estuviera lleno pero fuera infinito, sí podría hacerse algo. Podría decir al individuo de la habitación 1 que fuera a la 2; que el individuo de ésta se fuera a la 3, cuyos ocupantes anteriores se habrían ido ya a la 4, etc. En general, los huéspedes de la habitación N se trasladarían a la (N + 1) para cualquier número N. Con esta acción ningún individuo se quedaría sin habitación y la número 1 quedaría vacante para usted.

Los conjuntos infinitos tienen muchas propiedades sorprendentes que no tienen los finitos. Por definición, un conjunto infinito siempre puede ponerse en correspondencia biunívoca con uno de sus subconjuntos; esto es, tiene subconjuntos cuyos elementos se pueden emparejar uno a uno con los elementos del conjunto total. La escena anterior del hotel ilustra que si al conjunto de los números enteros positivos le quitamos el 1, quedan tantos números (2, 3, 4, 5, …) como números enteros positivos hay en total (1, 2, 3, 4, …). Del mismo modo, hay tantos números pares como números enteros, y tantos números enteros múltiplos de 17 como números enteros. El siguiente emparejamiento aclara esta última afirmación: 1, 17; 2, 34; 3, 51; 4, 68; 5, 85; 6, 102; etc.

Algunas de estas rarezas relativas a los conjuntos infinitos se conocían ya en tiempos de Galileo, pero su estudio sistemático lo debemos al matemático alemán Georg Cantor, y el hecho de que la teoría de conjuntos se haya convertido en el lenguaje común de la matemática abstracta se debe en buena medida a sus resultados. No es pues sorprendente que el tema de los conjuntos infinitos sea muy extenso, y aquí sólo me entretendré en una distinción útil debida a Cantor: la diferencia entre los conjuntos infinitos numerables y los no numerables. Esta distinción tiene un papel muy importante en el análisis matemático, y las demostraciones relacionadas con estos conceptos son particularmente bellas.

Un conjunto infinito es numerable si hay alguna manera de asociar sus elementos o emparejarlos uno a uno (sin dejarse ninguno) con los números enteros positivos. Un conjunto infinito es no numerable si sus elementos no se pueden emparejar de ninguna manera con los enteros positivos. Los conjuntos infinitos que hemos mencionado por ahora son numerables, pero antes de dar un ejemplo de conjunto infinito no numerable, esbozaré una demostración debida a Cantor que prueba que el conjunto de los números racionales también es numerable, a pesar de su densidad y de su aparente plenitud. Esto es, hay exactamente tantos números enteros como fracciones. (Véase también la entrada sobre Números racionales e irracionales).

¿Cómo podemos emparejar los números racionales (fracciones) con los enteros positivos? No podemos relacionar sin más el 1/1 con el 1, el 2/1 con el 2, el 3/1 con el 3 y así sucesivamente, pues nos estaríamos dejando la mayoría de números racionales. Otros intentos más sofisticados presentan problemas similares. Un truco que funciona es considerar primero los números racionales tales que su numerador y su denominador sumen 2. Sólo hay uno —1/1— y le asociaremos el número 1. Luego consideramos los racionales cuyos numerador y denominador sumen 3. Hay dos —1/2 y 2/1— y les asociamos los enteros 2 y 3. A continuación consideramos los racionales cuyos numerador y denominador suman 4 —1/3, 2/2 y 3/1— y asociamos el siguiente entero, 4, a 1/3, luego el 5 a 3/1, e ignoramos el 2/2 (y haremos lo mismo con todas las fracciones que no sean irreducibles). En el estadio siguiente, las fracciones cuyos numerador y denominador sumen 5, asociamos el 6 a 1/4, el 7 a 2/3, el 8 a 3/2 y el 9 a 4/1.

Demostración de que los números racionales son numerables

Seguimos así, considerando en cada estadio sólo los racionales cuyos numerador y denominador sumen N, ordenándolos de modo creciente y asociándoles los enteros subsiguientes. Finalmente, cada número racional queda emparejado con un entero y llegamos a la conclusión de que el conjunto de las fracciones es infinito numerable. (Quizá le apetezca comprobar que el entero 13 está asociado a la fracción 2/5).

Y ahora, un conjunto no numerable. Cantor demostró que el conjunto de todos los números reales (todos los decimales) es más numeroso (más infinito) que el conjunto de los enteros o el de los racionales. O dicho con mayor precisión, que no hay ninguna manera de emparejar los números reales con los enteros (o los racionales) sin que queden reales por emparejar. La demostración estándar de esta propiedad es de tipo indirecto y empieza suponiendo que sí existe tal emparejamiento. Supongamos, sólo para concretar un poco, que el número 1 se empareja con el número real 4,56733951…, el 2 con 189,31299008…, el 3 con 0,33933337…, el 4 con 23,54379802…, el 5 con 0,98962415…, el 6 con 6.219,31218462…, etc. ¿Cómo podemos estar seguros de que, independientemente de cómo continúe esta lista infinita (o cualquier otra que podamos construir), siempre dejará fuera algunos números reales?

El número que empieza 0,620835 no aparece en ningún lugar de la lista pues difiere del N-ésimo número de ésta al menos en la N-ésima cifra decimal. Los números reales no son numerables

Para responder a esto, consideremos el número real comprendido entre 0 y 1 cuyo N-ésimo lugar decimal esté ocupado por un dígito una unidad mayor que el dígito subrayado en el N-ésimo lugar decimal del N-ésimo número de la lista. (Quizá quiera usted releer esta última frase con un poco más de calma). Para la lista particular anterior, el número al que me refiero empezaría 0,620835…, pues el primer dígito, 6, es 1 más 5, 2 es 1 más 1, 0 es 1 más 9, etc. Este último número no está en la lista, pues por definición difiere del primer número de ésta al menos en la primera cifra decimal, del segundo al menos en la segunda cifra decimal, del tercero al menos en la tercera cifra, y difiere del N-ésimo número de la lista al menos en la N-ésima cifra decimal.

Y esto es todo. QED. Aquí acaba la demostración. No importa qué lista infinita de números reales nos presenten, con una técnica similar siempre podremos construir un número real que no esté en la lista. La conclusión es que no hay ninguna manera de emparejar los números reales con los enteros sin dejarse ninguno. El conjunto de los números reales es infinito y no numerable, y se dice que su cardinalidad (infinita) es superior a la del conjunto de los enteros y de los racionales.

[Hay también conjuntos con cardinalidades superiores a la de los números reales. Como ejemplos tenemos el conjunto de todos los subconjuntos de los números reales, o el conjunto de todas las funciones de números reales. De hecho, existe toda una jerarquía de cardinalidades infinitas que empieza por ℵ, el símbolo de Cantor para la cardinalidad de los enteros (ℵ₀ es alef, la primera letra del alfabeto hebreo). Sin embargo, como ya dije, la distinción entre conjuntos numerables y no numerables es la única que cuenta para muchos matemáticos].

Cantor conjeturó que no había ningún subconjunto de los reales que fuera más numeroso que los enteros y menos numeroso que los propios números reales (y, en consecuencia, sugirió que su cardinalidad se denotara con el símbolo ℵ₁). Esta especulación es lo que posteriormente se ha llamado hipótesis del continuo y nunca nadie la ha demostrado. Una razón poderosa es que, como han demostrado Gödel y el matemático americano Paul Cohen, es independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos; tanto la hipótesis del continuo como su negación son consistentes con la teoría de conjuntos tal y como la entendemos en la actualidad. Un nuevo axioma, que fuera verosímil, podría decidir la cuestión, pero a pesar de los intentos de muchos eminentes lógicos y expertos en teoría de conjuntos (por no hablar de un quijotesco intento por mi parte con «conjuntos genéricos», pues no encajaría en el margen de esta página), nadie lo ha encontrado todavía.

Volviendo a nuestro ejemplo del Hotel Infinito después de este viaje tan agotador, observamos que si cada una de la infinidad numerable de habitaciones del hotel tuviera una infinidad numerable de ventanas, el conjunto total de ventanas todavía sería numerable. Esto es, el hotel no tendría más ventanas que habitaciones. (La demostración es parecida a la de la numerabilidad del conjunto de los racionales). Finalmente, acabaremos con una observación contundente: olvidemos por un instante nuestras limitaciones físicas e imaginemos que esta infinidad de ventanas está numerada y que a las 11:59, las ventanas de la 1 a la 10 se rompen y que la ventana 1 es reparada. Medio minuto después, se rompen las ventanas de la 11 a la 20, mientras la 2 es reparada. Un cuarto de minuto más tarde se rompen las ventanas de la 21 a la 30 y la 3 es reparada. La progresión está clara: un octavo de minuto más tarde… La pregunta es: ¿cuántas de estas ventanas se han roto y han sido reparadas a las 12:00? Y la respuesta es que a las 12:00 se han roto y han sido reparadas todas.

Conjuntos infinitos