Cálculo

El cálculo infinitesimal, descubierto independientemente a finales del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm von Leibniz, es la rama de la matemática que trata de los conceptos fundamentales de límite y variación. Al igual que la geometría axiomática de los antiguos griegos, casi desde sus comienzos tuvo un profundo efecto en el pensamiento científico, matemático y del público en general. Ello se debe parcialmente a la potencia, elegancia y versatilidad de sus técnicas y también a su asociación con la física newtoniana y a la metáfora del universo como mecanismo gigantesco gobernado por el cálculo y unas ecuaciones diferenciales eternas. En las últimas décadas los avances de la física moderna han quitado bastante fuerza a esta imagen, a la vez que los progresos de los ordenadores han cuestionado la posición, otrora indiscutida, del cálculo en los planes de estudio. A pesar de todo, el cálculo sigue siendo una de las ramas más importantes de la matemática para el científico y el ingeniero, y cada vez más para el economista y el hombre de negocios.

Aunque sea un poco simplista, es útil dividir la materia en dos partes: el cálculo diferencial, que trata de las tasas de variación, y el cálculo integral, que se ocupa de sumar cantidades que varían. Empezando por el cálculo diferencial, como hacen la mayoría de tratados, supongamos que después de comer salimos de Filadelfia en dirección a Nueva York por la autopista de Nueva Jersey. El coche lleva reloj y cuentakilómetros, pero no velocímetro, aunque notamos que la velocidad cambia debido a la intensidad del tráfico, la música o el estado de ánimo del conductor. Una pregunta que se nos plantea de manera natural es: ¿cómo podríamos determinar la velocidad instantánea en un momento dado, la una, por ejemplo? Supongamos que nos interesa más una definición teórica que una manera práctica de realizarlo.

Una primera respuesta aproximada podría consistir en tomar la velocidad media entre la 1:00 y la 1:05. Si recordamos que la velocidad media es igual a la distancia recorrida dividida por el tiempo empleado, podríamos usar el cuentakilómetros para determinar la distancia recorrida en estos cinco minutos y luego dividirla por 1/12 (un doceavo) de hora (cinco minutos). Tendríamos una mejor aproximación si determináramos nuestra velocidad media entre la 1:00 y la 1:01, buscando la distancia recorrida durante este minuto y dividiéndola luego por 1/60 de hora. Este segundo resultado se aproximaría más a la velocidad instantánea a la 1:00, pues dejaría menos tiempo para posibles cambios de velocidad. Obtendríamos una aproximación mejor aún si encontráramos la velocidad media entre la 1:00:00 y la 1:00:10. Como antes, determinaríamos la distancia recorrida durante este intervalo de diez segundos y la dividiríamos por 1/360 de hora.

No se trata de un método demasiado eficaz, pero sirve para llevamos a la definición teórica de velocidad instantánea. La velocidad instantánea en un instante dado es, por definición, el límite de las velocidades medias sobre intervalos de tiempo cada vez más cortos que contengan el instante en cuestión. Empleado aquí, «límite» es un término delicado (véase la entrada sobre Límites), pero me parece que en este caso su aplicación es bastante intuitiva. Además, y esto es importante, si la distancia que hemos recorrido por la autopista de Nueva Jersey viene dada por una fórmula que depende sólo del tiempo que llevamos viajando, el cálculo nos proporciona técnicas que nos permiten determinar la velocidad instantánea a partir de dicha fórmula. Si representáramos gráficamente esta fórmula que relaciona la distancia recorrida (sobre el eje Y) con el tiempo empleado (sobre el eje X), la velocidad en cualquier instante correspondería a lo empinado de la gráfica en el punto dado, es decir, a su pendiente en ese punto.

La definición y las técnicas son muy generales y son las que aparecen de un modo natural siempre que uno se plantea la pregunta genérica: ¿a qué velocidad está cambiando esto? Como en el caso anterior, a menudo nos interesa saber cómo cambia una cierta cantidad con el transcurso del tiempo. ¿A qué velocidad conducíamos a la una? ¿A qué velocidad se estará extendiendo la mancha de petróleo al cabo de tres días? ¿A qué velocidad se alargaba la sombra hace una hora? Aunque a menudo nos interesan también otras tasas de cambio más generales. ¿Cuánto aumentarán nuestros beneficios con respecto al número de artículos fabricados si producimos 12.000 diarios? ¿Cuánto aumentará la temperatura de un gas contenido en un recipiente con respecto al volumen, si éste es de 5 litros? ¿Cuánto aumentarán las ganancias con respecto al capital invertido si éste es de 800 millones de dólares (suponiendo que los demás factores se mantienen constantes)? Siempre que se conozca la relación entre las cantidades implicadas, las técnicas del cálculo diferencial se pueden usar para determinar la tasa de variación —que se conoce como la «derivada»— de una cantidad con respecto a la otra. [Si la relación entre las cantidades x e y viene dada por la fórmula y = f(x) (véase la entrada sobre Funciones), entonces la derivada se indica con una fórmula que se suele simbolizar como f'(x), y que en la notación de Leibniz se escribe dy/dx. La fórmula de la derivada nos dice a qué ritmo varía y con respecto a x en cualquier punto x.

Como suele ocurrir en matemáticas, saber las fórmulas, en este caso las de las derivadas obtenidas por estas técnicas, no tiene por sí mismo mucho valor. Todos los estudiantes de cálculo «saben» que la derivada de Y = XN es NXN−1. Para demostrar la superficialidad de este conocimiento, cuando mis hijos iban al parvulario les enseñé a contestar NXN−1 siempre que les preguntaba cuál era la derivada de XN. Ellos también «sabían» cálculo.

Muchos tipos de problemas resultan fáciles una vez se ha comprendido el concepto de derivada. Como los beneficios, por ejemplo, acostumbran a aumentar y después a disminuir en función del número de artículos producidos, sabemos que la tasa de variación del beneficio con respecto a los artículos primero es positiva (aumento del beneficio con el número de artículos producidos) y luego negativa (disminución de los beneficios si seguimos fabricando más). Si conocemos la relación precisa entre beneficios y artículos podemos determinar cuántos productos hemos de fabricar para maximizar nuestros beneficios, encontrando cuándo se anula el valor de la tasa de variación. Podemos emplear la misma técnica para optimizar recursos escasos.

Para hacerse una ligera idea de lo que es el cálculo integral, supongamos que estamos otra vez en la autopista de Nueva Jersey (el camino real al cálculo), pero que esta vez el coche está equipado de un reloj (pongamos que marca las 2:00) y un velocímetro, pero no tiene cuentakilómetros. La monotonía de conducir nos ha hecho caer en un talante reflexivo y nos preguntamos cómo podríamos saber la distancia recorrida durante la próxima hora en función de la velocidad. Si mantenemos una velocidad constante de 80 kilómetros por hora, el problema es trivial: habremos recorrido exactamente 80 kilómetros.

Sin embargo, como la velocidad de nuestro coche cambia considerablemente, podríamos intentar dar una respuesta aproximada del modo siguiente: consultemos el velocímetro a las 2:02:30 y supongamos que la velocidad (pongamos 96 km/h) se mantiene constante en el intervalo entre las 2:00 y las 2:05. Como la distancia recorrida en cualquier intervalo de tiempo es igual al producto de la velocidad por la duración de dicho intervalo, multiplicamos 96 km/h por 1/12 de hora, con lo que obtenemos un valor aproximado de la distancia recorrida entre las 2:00 y las 2:05 (unos 8 kilómetros). Consultemos a continuación el velocímetro a las 2:07:30 y supongamos que nuestra velocidad (pongamos que ahora es de 80 km/h) permanece aproximadamente constante durante el intervalo que va de las 2:05 a las 2:10, multiplicamos 80 km/h por 1/12 de hora y tenemos un valor aproximado de la distancia recorrida entre las 2:05 y las 2:10. Quizás a las 2:12:30 hayamos encontrado un tráfico muy denso y hayamos tenido que reducir a 56 km/h. Multiplicamos esta velocidad por 1/12 de hora y tendremos una estimación de lo que hemos recorrido entre las 2:10 y las 2:15. Siguiendo así, sumemos todas estas distancias y obtendremos las distancia total recorrida durante la hora.

La variación de la velocidad de nuestro coche será menor en un minuto que en cinco. Por tanto, si queremos una aproximación mejor, emplearemos intervalos de un minuto en vez de cinco y, como antes, sumaremos todos los pequeños trozos de distancia. O también podríamos sumar todas las distancias recorridas en intervalos de diez segundos sucesivos, con lo que obtendríamos un resultado más aproximado para la distancia recorrida durante esa hora. La distancia recorrida exacta se define como el límite de este procedimiento, y dicho límite se conoce con el nombre de «integral definida» de la velocidad. El resultado de la suma dependerá, naturalmente, de la velocidad y del modo exacto como ésta varíe a lo largo de la hora.

Como en el caso de las tasas de variación, el procedimiento es completamente general y se presenta cuando uno se pregunta acerca de una cantidad variable: ¿A cuánto asciende en total? Por ejemplo, una aproximación de la fuerza total que ejerce un embalse sobre la presa que lo contiene la podemos obtener sumando la fuerza contra el estrato inferior de un metro de altura a la fuerza contra el estrato de un metro de altura inmediatamente superior, luego a la fuerza sobre el estrato siguiente y así sucesivamente hasta llegar a la parte superior de la presa. Hemos de hacerlo así porque la presión del agua, y por tanto la fuerza que ejerce, aumenta con la profundidad. Se obtiene una mejor aproximación dividiendo la presa en estratos de un centímetro de altura y sumando las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos, y la fuerza exacta se obtiene encontrando el límite de este procedimiento —la integral definida—. Análogamente, si tratamos de encontrar los ingresos totales resultantes de vender productos cuyo precio disminuye continuamente con la cantidad fabricada, vamos a parar también al concepto de integral definida. [La integral de una cantidad y = f(x) se suele indicar por f(x) dx, donde el signo ∫ es una S estilizada que significa «suma»].

La utilidad de la integral indefinida procede en gran parte del llamado teorema fundamental del cálculo, según el cual esta operación y la otra operación fundamental que hemos presentado, la de hallar la tasa de variación o derivada de una cantidad respecto a otra, son de hecho operaciones inversas, es decir, cada una deshace los efectos de la otra. El teorema y las técnicas que se desprenden de las dos definiciones nos proporcionan los útiles necesarios para comprender las cantidades que varían continuamente. Las ecuaciones diferenciales (ecuaciones en las que aparecen derivadas —véase la entrada correspondiente—) son un ejemplo particularmente valioso de la aplicación de estos útiles.

Estas ideas estimularon en gran manera el desarrollo del análisis matemático; el cálculo y las ecuaciones diferenciales se convirtieron en el lenguaje de la física y el mundo cambió para siempre. Recuérdelo la próxima vez que conduzca por una autopista con un velocímetro o un cuentakilómetros estropeado.