¿Habéis leído alguna vez una larguísima saga generacional y casi al final os habéis encontrado con un personaje que suelta un tópico absolutamente vacío que, a pesar de todo, encaja tan profundamente con el resto de la obra que os hace repasarla toda bajo esa nueva luz? Mi reacción ante la fórmula del área de un rectángulo es un tanto similar. Soy perfectamente consciente de su simplicidad y, al mismo tiempo, también de sus conexiones con espléndidos filones de oro matemático. Dejemos de lado el oro, sin embargo, y centrémonos en un color más pálido: el crema. Tengo ante mí un sobre de color crema; sus dimensiones son 25 centímetros por 32 centímetros y, por tanto, su área son 800 centímetros cuadrados. Como soy sumamente listo, no he contado 800 cuadrados de un centímetro de lado para encontrar esta área; me ha bastado con multiplicar la longitud del sobre por su anchura.
Es bastante simple, pero cualquier otra fórmula del área de una figura plana es una consecuencia del hecho tan sencillo de que el área de un rectángulo sea igual a la longitud de su base por la de su altura; o escrito como una ecuación, A = BH. A continuación siguen algunos ejemplos importantes, un par de ellos, como el anterior, tan antiguos como el propio conocimiento matemático (anteriores a los egipcios).
Como la base y la altura de un cuadrado son iguales, la fórmula del área del cuadrado es A = L2, siendo L la longitud del lado del cuadrado. (Las fórmulas correspondientes a los perímetros del rectángulo y el cuadrado son respectivamente, P = 2B + 2H y P = 4L).
Aunque su nombre pueda evocar un par de pesas pequeñas en paralelo, un paralelogramo es una figura de cuatro lados —un cuadrilátero— cuyos lados opuestos son paralelos. Su área también se expresa con la fórmula A = BH, donde B es como antes la longitud de la base, o lado de abajo, pero ahora H es la distancia más corta entre el lado de arriba y el de abajo (o su prolongación si hiciera falta), esto es, la altura perpendicular, en contraposición con la altura inclinada.
Como cualquier triángulo se puede considerar como la mitad de un rectángulo o de un paralelogramo (un corte triangular de la pieza rectangular entera), la fórmula del área del triángulo es simplemente A= 1/2 × B × H, donde, como antes, B es la base del triángulo y H la distancia más corta desde el vértice superior a la base (o su prolongación, si hiciera falta).
Si se empapela una habitación de planta irregular o se pintan las paredes de una catedral gótica, se puede encontrar el área de cualquier figura plana limitada por líneas rectas, dividiendo y venciendo: se divide la figura en triángulos y rectángulos, se halla el área de cada una de estas partes y luego se suman las áreas para obtener el área de la figura global. Aplicando este método a los polígonos regulares (polígonos como los triángulos, cuadriláteros, pentágonos o dodecágonos con todos los lados y ángulos iguales), se obtiene la fórmula A = 1/2 × TP, donde P es el perímetro o longitud del contorno del polígono y T es la distancia perpendicular del centro del polígono a un lado.
Además, ya que un círculo se puede considerar como la figura límite a la que converge una sucesión de polígonos regulares inscritos, también podemos usar las ideas de partir y de límite para demostrar que el área del círculo también viene dada por A = 1/2 × TP, donde, como antes, T es la distancia del «punto central» o centro del círculo a un «lado» del círculo, y P es el «perímetro» del círculo. Como el perímetro del círculo es su circunferencia, 2π veces el radio R del círculo (véase la entrada sobre Pi), y como T es igual a R, tenemos que, cuando sustituimos estos valores en la fórmula anterior, llegamos a la expresión más conocida de A = 1/2 × R × 2πR o A = πR2 para el área de un círculo de radio R (lo que explica, entre otras cosas, por qué una pizza de 20 centímetros es casi un 80% mayor que una de 15 centímetros).
En general, para encontrar el área de una figura delimitada por líneas curvas de cualquier clase, se ha de aproximar la figura en cuestión por otra cuyo contorno esté formado por rectas. Luego se ha de calcular el área de esa figura de lados rectilíneos descomponiéndola en triángulos y rectángulos y sumando las áreas de éstos. Para tener un resultado más aproximado, se toman los segmentos rectilíneos de la aproximación lo más cortos posible, de modo que se adapten mejor al contorno curvilíneo, y luego se procede como antes por descomposición en triángulos y suma. Este «método de exhaustación» o de aproximación sucesiva de un área curva por medio de rectángulos y triángulos se remonta a Arquímedes y es la idea fundamental de la integral definida, que se define como el valor límite de estas sumas aproximadas e, incidentalmente, un concepto que se encuentra en la base de buena parte de la aplicabilidad del cálculo y del análisis matemático.
Fórmulas de los volúmenes elementales
Para los volúmenes de las figuras en el espacio se puede seguir una estrategia semejante. La pieza fundamental de esas figuras es la caja rectangular, cuyo volumen V se halla multiplicando la longitud por la anchura por la altura, V = LAH; V = L3 para el cubo de lado L. El volumen de un paralelepípedo, figura de seis caras cuyas caras opuestas son paralelogramos iguales, viene dada por la misma fórmula pero, como antes, la anchura y la altura se han de interpretar como distancias perpendiculares entre caras opuestas. Otras fórmulas útiles son las de un bote cilíndrico (expresión tan redundante como «nueva innovación»): V = πR2H, siendo R el radio del bote y H su altura; de un cono, 1/3 × πR2H, donde R es el radio de la base del cono y H su altura perpendicular; y de una esfera, 4/3 × πR3, donde R es el radio de la esfera.
Como en el caso de las áreas, el volumen de una figura más compleja se puede determinar calculando el límite de sucesivas aproximaciones a la figura por medio de cajas rectangulares; esto es, usando de nuevo el método de exhaustación de Arquímedes, formalizado en el cálculo integral. No podemos pasar sin citar otras generalizaciones naturales de las fórmulas del área y el volumen a hiperespacios de más dimensiones (en los que los hipercubos serían las piezas elementales), así como otros temas más teóricos relativos a la naturaleza y propiedades de las áreas y los volúmenes (de superficies, sólidos y conjuntos arbitrarios).
Representación bidimensional de un hipercubo
Entre los conceptos de área, volumen y física elemental se da una curiosa interacción. Obsérvese que la fuerza de sustentación que necesita una persona, un animal o una estructura cualquiera para mantenerse en pie, es proporcional al área de su sección transversal, mientras que su peso es proporcional al volumen. Por ejemplo, si se cuadruplica la altura de una estructura conservando sus proporciones y el material de que se compone, se tiene que el peso se multiplica por 64 (43), mientras que su capacidad para soportar peso sólo se ha multiplicado por 16 (42). Ésta es la razón por la que cualquier monstruo de 8 metros de altura que se pasee por el Himalaya o se tueste al sol en alguna playa del Triángulo de las Bermudas no puede tener las mismas proporciones que nosotros. Esta relación también condiciona las alturas, proporciones y materiales de los árboles, edificios y puentes. Consideraciones semejantes permiten explicar otras características estructurales (como el área de la superficie del pulmón y del intestino) de las plantas, animales y objetos inanimados. (Véase la entrada sobre Fractales).
Repito lo que dije al principio de este artículo. Aunque la fórmula A = BH sea en cierto sentido trivial (la ilustración arquetípica de la multiplicación), toda la matemática está llena de variantes, refinamientos y aplicaciones de esta idea.
Finalmente, el saber estas fórmulas de las áreas y los volúmenes no siempre garantiza un sentido intuitivo de la extensión y la voluminosidad. Baste con un ejemplo: el Gran Cañón del Colorado tiene 369 kilómetros de largo, su anchura oscila entre 7 y 31 kilómetros, y llega a tener hasta 1,7 kilómetros de profundidad. Si, siendo un poco conservadores, le asignamos 10 kilómetros de anchura media y 0,5 kilómetros de profundidad media, su volumen es de 1.845 kilómetros cúbicos, que multiplicado por 1.0003 da 1,845 × 1012 metros cúbicos. Si dividimos esta cifra por cinco mil millones, el total de la población humana de la Tierra, obtenemos aproximadamente 369 metros cúbicos de espacio del Gran Cañón por cada ser humano. Sacando la raíz cúbica de esta cifra, aproximadamente 7 metros, llegamos a que en la Gran Colmena cabrían cinco mil millones de cubículos de 7 metros de lado.