El álgebra elemental siempre me gustó, en parte porque mi primera profesora había sido reclutada (quizá sería más apropiado decir forzada) para impartir la asignatura pese a no ser capaz de reconocer una ecuación de segundo grado en un ejercicio de ciclo superior. Como, no obstante, era honesta, nunca trató de ocultarlo, y al estar próxima a la jubilación, se apoyaba en sus mejores estudiantes para salir de cualquier atolladero matemático. A menudo encontraba algún pretexto para que uno de nosotros fuera a su clase al acabar la escuela, y siempre se las arreglaba para ensayar la lección del día siguiente. Por suerte (y por necesidad) insistía en unos pocos principios básicos y dejaba la mayoría de detalles para nosotros.
A pesar de saber algo de matemáticas, intentaré, en la medida de lo posible, seguir su sano ejemplo pedagógico de bosquejar una imagen general y evitar los detalles técnicos. Esto es especialmente importante en álgebra, cuya sola mención evoca en muchas personas el desdichado recuerdo de intentar determinar la edad de Enrique sabiendo que es 5 veces mayor que su hijo y que dentro de 4 años será sólo 3 veces mayor. Hay muchas razones para esta aversión, pero a veces me pregunto si una de ellas no se remonta al mismo descubrimiento del álgebra por Al-Juarizmi, a principios del siglo IX. Este Al-Juarizmi, de cuyo nombre procede la palabra «algoritmo» y de cuyo libro Al-jabr wa’l Muqabalah proviene la palabra «álgebra», fue uno de los mayores matemáticos de una de las épocas más impresionantes del saber árabe. Su libro trata de la resolución de varias clases sencillas de ecuaciones, pero fiel al significado que ha adquirido la palabra algoritmo, Al-Juarizmi se concentró casi exclusivamente en recetas, fórmulas, reglas y procedimientos. A mi modo de ver, este texto carece de la elegancia y el atractivo lógico de los Elementos de Euclides, pero, como éste, fue la obra de referencia por excelencia en su campo durante muchísimo tiempo.
Aunque Al-Juarizmi no usara variables en sus problemas de álgebra, por la sencilla razón de que éstas no se inventarían hasta 750 años después, se ha venido a considerar el álgebra como una generalización de la aritmética en la que se usan variables en el papel de números desconocidos. (Véase la entrada sobre Variables). Esto permite un campo de acción muchísimo mayor pues se puede expresar, por ejemplo, la propiedad distributiva por medio de la simple igualdad A(X + Y) = AX + AY, mientras que en aritmética sólo se pueden citar ejemplos concretos de esta propiedad: 6(7 + 2) = (6 × 7) + (6 × 2), o 11(8 + 5) = (11 × 8) + (11 × 5). (Permítaseme intercalar aquí un conocido acertijo cuya solución se basa en la propiedad distributiva. Tómese un número entero X. Añádasele 3. Dóblese el resultado y réstesele 4. Réstese luego dos veces el número escogido y súmese 3 al resultado. Da 5. ¿Por qué?).
El título Al-jabr wa’l Muqabalah significa algo así como «restauración y equilibrio» y se refiere a la idea básica del álgebra de que para resolver una ecuación se han de «equilibrar» ambos miembros de la misma, y que si uno realiza una operación en un miembro de la ecuación, ha de «restaurar» la igualdad realizando también la misma operación en el otro.
Más adelante haremos un repaso de este proceso, pero como probablemente le dé lo mismo que Enrique tenga 20 años y fuera padre a los 16, considere el siguiente problema práctico sacado de la laberíntica complejidad de mi imperio financiero. Recientemente estaba tratando de decidir dónde invertir una cierta cantidad de dinero por un corto plazo de 3 meses: en un fondo que pagaba el 9% en el primer mes y luego revertía al tipo de interés de Hacienda en los dos meses restantes, o en un fondo que pagaba el 5,3% libre de impuestos. Me preguntaba cuál habría de ser el tipo de interés medio, R, de Hacienda para salir sin ganar ni perder con el fondo libre de impuestos. Esto me llevó a la ecuación 0,72[(0,09 + R + R)/3] = 0,053, donde el 0,72 reflejaba mi nivel tributario. Ecuaciones parecidas se dan en muchos aspectos de los negocios, la ciencia y la vida cotidiana, y las sencillas técnicas empleadas para resolverlas me permitieron obtener R = 6,54%, muy por debajo del tipo de interés de Hacienda en aquel momento, con lo que invertí mi dinero en el primero de los fondos.
El álgebra trata también de los métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado (X2 + 5X + 3 = 0, por ejemplo), ecuaciones cúbicas (X3 + 8X2 − 5X + 1 = 0) y ecuaciones de grado superior (XN + 5X(N−1) … − 11,2X3 + 7 = 0) así como ecuaciones de dos o más variables y sistemas de ecuaciones. (Véanse las entradas sobre La fórmula de la ecuación de segundo grado y Programación lineal). En todas ellas se emplean variantes y refinamientos del principio fundamental de «restauración y equilibrio» de Al-Juarizmi como la idea fundamental de que las variables representan números y, por tanto, las manipulaciones que se hagan con ellas han de obedecer a las mismas reglas que rigen a los números.
Hay otra rama de la matemática que atiende al nombre de álgebra (a veces se la llama álgebra abstracta para distinguirla del álgebra elemental), pero su lógica, sus orígenes históricos y su tono son tan distintos que reservo su discusión para la entrada sobre Grupos. Los algebristas cuya especialidad es el estudio de estructuras algebraicas abstractas a menudo se sienten un poco molestos cuando los legos se imaginan que su ocupación consiste principalmente en resolver ecuaciones de segundo grado.
[Deducción de la edad de Enrique sabiendo que es 5 veces mayor que su hijo y que dentro de 4 años será sólo 3 veces mayor. Empecemos suponiendo que X es la edad actual del hijo de Enrique. (Un amigo mío cuenta que empezó así una explicación y alguien en el fondo de la clase replicó sarcásticamente: «Bueno, ¿y si suponemos que no lo es?»). Entonces 5X ha de ser la edad actual de Enrique. Dentro de 4 años el hijo tendrá (X + 4) años, mientras que Enrique tendrá (5X + 4). Nos dicen que en ese momento el padre será sólo 3 veces mayor que el hijo. Expresada algebraicamente, la relación se traduce en la ecuación 5X + 4 = 3(X + 4). Ahora hemos de usar la propiedad distributiva para escribir 3(X + 4) como 3X + 12. De donde 5X + 4 = 3X + 12. Ahora pasamos a la restauración y equilibrio. Para simplificar la ecuación manteniendo la igualdad restamos 4 de ambos miembros y obtenemos 5X = 3X + 8. Por la misma razón restamos también 3X de ambos miembros, obteniendo 2X = 8. Por fin, dividimos ambos miembros por 2 y llegamos a X = 4. Y como X es la edad del hijo, concluimos que 5X = 20 es la edad de Enrique].
[La solución del otro acertijo: Si X es el número original, los resultados de las sucesivas operaciones son (X + 3); 2(X + 3) o (2X + 6); (2X + 2); 2; 5].