En este capítulo vamos a considerar trucos que sólo emplean números, además, claro, de lápiz y papel o un pizarrón donde puedan realizarse los cálculos. Esta clase de trucos puede caer en tres categorías generales: cálculos relámpago, predicciones, y efectos de adivinación del pensamiento.
Hay una considerable literatura acerca de la primera de estas categorías. Las pruebas de cálculo mental, sin embargo, se presentan casi siempre como demostraciones de destreza y no como pruebas de magia. No haremos más que revisar los cuatro efectos de cálculo relámpago que cautivaron a los ilusionistas. Son éstos: (1) Nombrar el día de la semana correspondiente a cualquier fecha requerida (discutido brevemente en el Capítulo Cuatro entre los trucos de calendario). (2) La gira del caballo de ajedrez. (3) Construir un cuadrado mágico sobre la base de una suma indicada por el público. (4) El cálculo rápido de raíces cúbicas.
La gira del caballo de ajedrez se discute bastante en la literatura de entretenimientos matemáticos como para que sea necesario dar aquí una explicación pormenorizada. Harry Kelar, un famoso mago estadounidense que prosperó a principios de siglo, solía realizar este truco en sus presentaciones (Junto con demostraciones de extracción de raíces cúbicas), pero son pocos los magos que lo hacen en la actualidad. De un modo similar, los cuadrados mágicos despiertan poco interés en públicos modernos. Si el lector quiere aprender un método simple para construir un cuadrado mágico de cuatro por cuatro que se ajuste a una suma indicada, encontrará una explicación de la prueba en BOOK WITHOUT A NAME, 1931, de Ted Annemann.
Para comenzar la demostración de la raíz cúbica se pide a algunos miembros del público que elijan un número cualquiera del 1 al 100, lo eleven al cubo y digan el resultado. Instantáneamente, el ejecutante da la raíz cúbica de cada número indicado. Para realizar el truco, primero es preciso memorizar los cubos de los números que van del 1 al 10.
1 - 1
2 - 8
3 - 27
4 - 64
5 - 125
6 - 216
7 - 343
8 - 512
9 - 729
10 - 1000
Una inspección de esta tabla revela que cada potencia cúbica termina en un dígito diferente. Este dígito corresponde a la raíz cúbica en todos los casos excepto el 2, 3, 7 y 8. En estos cuatro casos, el dígito final es igual a la diferencia entre 10 y la raíz cúbica.
Veamos cómo se usa esta información para hacer un cálculo relámpago. Supongamos que un espectador anuncia el cubo 250.047. El último número es un 7, con lo cual el ejecutante sabe inmediatamente que el último número de la raíz cúbica tiene que ser 3. El primer número de la raíz cúbica se determina de la siguiente manera. Descarte las tres últimas cifras del cubo (independientemente del tamaño del número) y considere las cifras restantes, que en este ejemplo son 250. En la tabla presentada más arriba, 250 está entre los cubos de 6 y 7. La cifra más baja de las dos —6 en este caso— será la primera cifra de la raíz cúbica. En consecuencia, la respuesta correcta es 63.
Un ejemplo más para que quede claro. Si el número indicado es 19.683, el último dígito, 3, indica que el último dígito de la raíz cúbica es 7. Al descartar los tres últimos dígitos queda 19, que cae entre los cubos de 2 y 3. El número más bajo es en consecuencia llegamos a una raíz cúbica final de 27.
En realidad, un calculador relámpago profesional probablemente memorizaría todos los cubos de los números enteros del 1 al 100, y usaría esta información para calcular cubos más altos. Pero el método recién descrito lo convierte en un truco fácil y efectivo para el aficionado. Curiosamente, hay reglas aún más simples para hallar raíces integrales de potencias mayores que 3. Las raíces quintas’ son especialmente fáciles de hallar porque cualquier número y su quinta potencia tienen el mismo dígito final.
Una prueba de cálculo rápido menos conocida es la de sumar en forma casi instantánea diez números cualesquiera de una serie de Fibonacci (es decir, una serie en la que cada número es igual a la suma de los dos números que lo preceden). Puede presentarse el truco de la siguiente manera. El ejecutante pide a alguien que anote dos números cualesquiera. Supongamos, por ejemplo, que elige 8 y 5. Anota un número debajo del otro, y luego se le indica que los sume para obtener un tercero. Ahora el tercer número se suma al que tiene por encima para obtener un cuarto, y esto continúa hasta que se forma una columna vertical de 10 números.
8
5
13
18
31
49
80
129
209
338
Mientras se anotan estos números (incluyendo los dos primeros), el ejecutante se mantiene de espaldas. Una vez escritos los diez números, se vuelve, traza una línea bajo la columna y escribe rápidamente la suma de los diez números. Para obtener la suma, sólo observe el cuarto número partiendo desde abajo y multiplíquelo por 11, una operación que se puede realizar mentalmente con facilidad. En este caso el número es 80, en consecuencia la respuesta es 11 veces 80, u 880. El truco fue aportado por Royal V. Heath a The Jinx, N° 91 (1940). (Ver en American Mathematical Monthly, Noviembre de 1947, un artículo de A. L. Epstein en el que discute la prueba como parte de un problema más amplio).
Los trucos de predicción y los de adivinación del pensamiento con números generalmente son intercambiables. Es decir, un truco que puede presentarse como una predicción puede también presentarse como adivinación del pensamiento, y viceversa. Suponga por ejemplo que el ejecutante sabe por anticipado el resultado de un cálculo que el espectador cree que no puede saber. El mago puede dramatizar este conocimiento escribiendo con anticipación el resultado en un papel, en cuyo caso realiza un truco de predicción. O puede simular que lee la mente del espectador una vez que se obtuvo el resultado, en cuyo caso realiza un truco de adivinación. (Como tercera alternativa, puede afectar que obtiene la respuesta por un cálculo relámpago). La mayoría de los trucos que se discutirán en adelante se prestan a este tipo de métodos alternativos de presentación, pero no vamos a desperdiciar palabras en señalarlo continuamente al lector.
El más antiguo de todo los trucos de predicción es tal vez el de pedir a alguien que piense un número, realizar sobre éste ciertas operaciones, y entonces anunciar el resultado final. El resultado coincide con una predicción previamente escrita. Para dar un ejemplo trivial, se pide al espectador que duplique su número, le sume 8, divida el resultado por dos y le reste el número original. El resultado será la mitad de cualquier número que usted le indique sumar. En este ejemplo el número sumado es 8, de modo que el resultado final será 4. Si se le hubiera pedido al espectador que sumara 10, la respuesta final habría sido 5.
Entre este tipo de trucos, hay uno más interesante que comienza por pedir a una persona que anote el año de su nacimiento, y luego le sume el año de algún acontecimiento importante de su vida. A esta suma debe agregar su edad, y por último el número de años transcurridos desde que tuvo lugar el acontecimiento importante. Pocas personas se dan cuenta de que la suma de esos cuatro números será siempre el doble del año presente. Esto, por supuesto, le permite predecir el total por adelantado.
En su libro SOMETHING BORROWED, SOMETHING NEW, 1940, el mago Paul Curry sugiere presentar este truco de la siguiente manera. Cuando el espectador anota el año de su nacimiento, usted simula recibir telepáticamente el número y escribirlo en su propia hoja de papel sin dejarle ver lo que ha escrito. Simule obtener los otros tres números de la misma manera. En realidad, usted puede escribirlos números que le plazca. Mientras el espectador suma sus cuatro números y anota debajo el total, simule hacer lo mismo y escriba en su propia suma el número que ya sabe será su total. Ahora dígale que no quiere que nadie vea su edad (si el espectador pertenece al bello sexo, esta preocupación resultará aún más apropiada), y sugiérale entonces que tache con su lápiz los cuatro números y deje solamente el total. Haga usted lo mismo. Ahora se comparan las dos sumas y resultan ser idénticas. Con una presentación como ésta parecería que de algún modo usted conocía todos sus números, aunque por supuesto usted no conocía ninguno de los cuatro. Es una manera efectiva de realizar cualquiera de los trucos numéricos en los que se conoce la respuesta de antemano.
Cuando pida a la persona que anote su edad, asegúrese de que sea la edad que va a tener el 31 de diciembre de ese año. De otro modo, la persona podría cumplir años después del día en que se está haciendo el truco y antes de que el año termine, en cuyo caso su total diferiría en 1. Lo mismo vale para el aniversario en cuestión. Royal Heath propone en MATHEMAGIC que el espectador incluya también en la suma una cifra irrelevante, tal como el número de personas que se encuentran en la habitación. Como este número también lo conoce usted, sólo tiene que agregarlo al doble del año en curso para obtener la respuesta final. Esto ayuda a disimular el mecanismo del truco. Si tuviera que repetir la prueba, puede usar una cifra diferente (como por ejemplo el día del mes) y concluir con una respuesta diferente.
El mago neoyorkino Al Baker propuso un manejo interesante del mismo truco. En primer lugar pida al espectador que anote el año de su nacimiento, sin que usted vea lo que escribe. Si se observan los movimientos de su lápiz, no es difícil adivinar las dos últimas cifras de esta fecha. En realidad, todo lo que necesita conocer es el último dígito, porque es fácil adivinar la edad de cualquier persona dentro de un periodo de diez años. A esta altura usted puede volverse de espaldas mientras le indica que a la fecha de su nacimiento agregue la fecha de un acontecimiento importante de su vida. A este resultado, él debe sumar el número de años que han transcurrido desde el acontecimiento importante. Como la suma de las dos últimas cifras siempre dará como resultado el año en curso, para obtener la suma final usted sólo tiene que sumar el año en curso al año del nacimiento. Con esta forma de presentación, el total por supuesto será diferente cada vez que repita el truco con otra persona. Al Baker explicó este truco en 1923 en una rara publicación llamada Al Baker’s Complete Manuscript que en la década del veinte se vendía por cincuenta dólares. Ésta es la primera fecha que pude encontrar de una explicación publicada del principio sobre el que se basa el truco.
Un truco de tipo similar consiste en pedir al espectador que realice ciertas operaciones sobre un número pensado; del resultado que él anuncia, usted le dice inmediatamente el número original. En los tratados más antiguos de matemática recreativa se encuentran trucos de ambos tipos. Son fáciles de inventar y muchísimos han sido publicados. El lector interesado hallará ejemplos significativos en MATHEMATICAL RECREATIONS, de Ball, MATHEMATICAL RECREATIONS, de Kraitchik, y MATHEMAGIC, de Heath. La última obra es una colección de entretenidos trucos numéricos de Royal V. Heath, publicado en 1933 por primera vez y reeditado en 1953 por Dover Publications. El libro RAINY DAY DIVERSIONS, 1907, de Carolyn Wells, también contiene algunas excelentes ideas de presentación para trucos aritméticos de esta naturaleza.
El truco más notable de este tipo no ha sido publicado hasta ahora que yo sepa. Se diferencia de otros trucos de su clase por el hecho de que en ningún momento, durante o después de la serie de operaciones que se realizan sobre un número pensado, el espectador da sus resultados al ejecutante. Por ciertas claves que va obteniendo, sin embargo, el mago puede averiguar el número.
El truco se divide en los siguientes pasos:
1. Pida a alguien que piense un número del 1 al 10 inclusive.
2. Dígale que lo multiplique por 3.
3. Pídale que divida el resultado por 2.
4. En este punto es preciso que usted sepa si tiene o no un resto de 1/2. Para obtener esta información, pídale que multiplique por 3 una vez más. Si lo hace rápidamente y sin vacilar, puede estar razonablemente seguro de que no tiene que lidiar con una fracción. Si en efecto tiene una fracción, vacilará y se mostrará perplejo. Puede incluso preguntar, «¿Qué hago con la fracción?». En cualquier caso, si usted sospecha que tiene una fracción, dígale, «A propósito, su último resultado tiene una fracción en el resto ¿verdad? Eso pensé. Por favor elimine completamente la fracción pasando al siguiente número entero. Por ejemplo, si su resultado es 10 1/2, elimine la fracción convirtiéndolo en 11».
Si había un resto fraccional, usted debe recordar el número clave 1. Si no había resto, no tiene que recordar nada.
5. Una vez que el espectador multiplicó por 3, según instrucciones dadas más arriba, pídale que divida por 2 otra vez.
6. De nuevo tiene que averiguar si tiene un resto fraccional o no. Dígale entonces, «Ahora tiene un número entero ¿no es cierto? Es decir ¿no hay fracción?». Si él asiente, diga, «Eso pensé», y continúe. Sin embargo, si le dice que está equivocado, muéstrese desconcertado por un momento y luego diga. «Bueno, en ese caso líbrese de la fracción y pase al siguiente número entero».
Si en este punto hay una fracción involucrada, recuerde el número clave 2. En caso contrario no recuerde nada.
7. Pídale que sume 2 a su resultado.
8. Dígale que reste 11. Por supuesto, estos dos últimos pasos son equivalentes a restar 9, pero esta forma de hacerlo sirve para disimular que se está empleando el principio nueve.
9. Si el espectador le dice que no puede restar 11 porque su último resultado es demasiado pequeño, usted puede decirle inmediatamente el número de partida que eligió. Si usted sólo recuerda el número clave 1, entonces el número elegido es 1. Si usted sólo recuerda el número clave 2, el número original es 2. Si usted recuerda ambos números clave, súmelos y obtendrá 3 como respuesta.
Si el espectador procediera con la resta de 11, usted sabe que el número pensado es mayor que 3. Recuerde el número clave 4 y continúe de la siguiente manera.
10. Pídale que sume 2.
11. Dígale que reste 11.
12. Si no puede restar 11, la respuesta será la suma de los números clave que usted viene recordando.
Si el espectador nada dice y procede con la resta, entonces la respuesta se obtiene por la suma de los números clave más un 4 adicional.
El truco podría parecer exageradamente complicado, pero si lo recorre con cuidado pronto se familiarizará con el procedimiento. Por supuesto puede variar las sustracciones de 9 en las formas que quiera. Por ejemplo, en lugar de hacerlo sumar y quitar 11, como se explicó, puede decirle que sume 5 y reste 14, o sumar 1 y restar 10.
Después de realizar el truco algunas veces, descubrirá de qué maneras dar las instrucciones como para que el espectador no se percate del hecho de que le está dando claves relativas a su número original. Después de una serie de operaciones aritméticas que aparentemente no tienen significado, y sin decir ninguno de sus resultados, el espectador se sorprenderá cuando lo escuche decir el número del que partió.
Este truco me fue explicado por el mago aficionado de la ciudad de Nueva York Edmund Balducci, quien a su vez lo escuchó de un hombre ya fallecido, de manera que no se conoce a su inventor. El truco combina elementos de otros dos trucos más antiguos, que pueden hallarse en la sección titulada «La Magia de los Números», en THE MAGICIAN’S OWN BOOK, publicado a mediados del siglo diecinueve.
El número 9 es una cifra clave en el truco recién descrito. Hay una enorme cantidad de trucos numéricos, además, que parecen explotar ciertas propiedades curiosas del 9. Por ejemplo, si usted invierte un número de tres cifras (siempre que el primero y el último dígito no sean iguales) y resta el menor del mayor, el resultado tendrá siempre un 9 como cifra central, y la suma de los otros dos dígitos dará 9. Esto significa que si le dicen el primero o el último dígito del resultado, usted puede decir el número completo de inmediato.
Si ahora se invierte el resultado y se suman los dos números, el total naturalmente será 1089. Un popular truco numérico consiste en escribir por anticipado 1089 en una hoja de papel y colocarla hacia abajo sobre la mesa. Cuando el espectador concluye la serie de operaciones descritas más arriba, y anuncia el resultado final como 1089, exhiba su predicción sosteniendo la hoja del revés. Se leerá 6801, que por supuesto no es la respuesta correcta. Por un momento muéstrese perplejo, y luego discúlpese por sostener la hoja al revés. Hágala girar para que se vea el resultado correcto. Esta pizca de actuación lateral agrega un toque divertido a la presentación.
En su libro RAPID ARITHMETIC. 1922, T. O’Connor Sloane, sugiere realizar el truco con dólares y centavos. Pida a alguien que ponga una suma de dinero, más de un dólar y menos de diez. La primera y la última cifra deben ser diferentes. Se realiza el truco tal como fue descrito, y dará como resultado US$ 10,89.
Si se suman todos los dígitos de un número dado, y luego se suman los dígitos del resultado, y se sigue sumando hasta que queda un solo dígito, este dígito se conoce como la raíz digital del número original. La manera más rápida de llegar a una raíz digital es mediante un proceso llamado «suprimir nueves». Suponga por ejemplo que queremos conocer la raíz digital de 87.345.691. Primero sumamos los dígitos 8 y 7 que dan 15, e inmediatamente sumamos el 1 y el 5 que dan 6. Esto es lo mismo que restar o «suprimir» 9 de 15. Ahora sumamos 6 al dígito siguiente, 3, que nos da 9. Nueve más 4 es 13, que inmediatamente reducimos a la raíz de 4, y así se continúa hasta llegar al final del número. De esta forma se obtiene el dígito 7, que es la raíz digital de la serie completa.
Una gran cantidad de trucos numéricos se hacen sobre la base de operaciones que parecen dar por resultado un número al azar, pero en realidad concluyen con un número que tiene una raíz digital de 9. Cuando sucede esto, el mago puede pedir al espectador que marque con un círculo cualquier dígito del resultado (excepto el 0) y que diga los dígitos restantes en el orden que quiera. El mago puede entonces nombrar el número marcado. Para hacer esto, sólo tiene que sumar los números anunciados, suprimiendo los nueves a medida que avanza, de manera que al anunciarse el último dígito sabe cuál es la raíz digital de la serie completa. Si es 9, entonces sabe que el número marcado era un 9. Si es otro número, lo resta de 9 y obtiene el dígito marcado.
Éstos son algunos de los muchos procedimientos que dan por resultado un número con raíz digital de 9.
Si lo desea, puede disimular el método aún más. Introduzca números y operaciones al azar antes de que el espectador realice el paso esencial. Puede pedirle, por ejemplo, que anote el monto del cambio que lleva en el bolsillo, luego debe multiplicarlo por el número de personas presentes en la habitación, sumar el año de un acontecimiento importante de su vida, etcétera, y por fin multiplicar el resultado final por 9. Este último paso es, por supuesto, el único que importa. Una vez obtenido el número con raíz digital de 9, puede pedirle al espectador que marque un dígito con un círculo y proceder con el truco de la manera descrita.
Tome un número cualquiera con raíz digital de 9, revuélvalo para formar un segundo número, revuélvalo otra vez para formar un tercero, y continúe de esta manera hasta tener todos los números que desee. Sume todos estos números entre sí y el resultado también tendrá una raíz digital de 9. De un modo similar, un número con raíz digital de 9 puede multiplicarse por cualquier número y el resultado tendrá una raíz de 9.
Pueden construirse muchos trucos en tomo de estas persistencias. Por ejemplo, suponga que llegó a sus manos un billete de dólar con un número de serie que tiene una raíz digital de 9. Lleve consigo el billete hasta que quiera mostrar el truco. Pida a alguien que anote una serie de dígitos al azar; luego, como si lo hubiese pensado mejor, saque el billete de su bolsillo y sugiera que copie en cambio el número de serie del billete: una forma conveniente, explicará usted, de obtener números al azar. Esta persona entonces revuelve los dígitos para obtener algunos números nuevos, suma todos los números sin dejar que usted vea el cálculo, multiplica el resultado por el número que se le antoje, y finalmente marca con un círculo un dígito de la respuesta. Si ahora le enuncia los dígitos restantes, usted puede por supuesto decirle cuál es el número marcado.
Otra presentación novedosa consiste en comenzar con las cifras de la fecha en que usted realiza el truco, es decir, el día, el mes y el año. En cuanto al año, puede usar las cuatro cifras o sólo las dos últimas. En dos de cada nueve días, aproximadamente, usted verá que puede obtenerse una serie de números con una raíz digital de 9. Usted realiza el truco en uno de estos días. Suponga por ejemplo que la fecha es 29 de marzo de 1958. Pida a alguien que escriba la fecha como 29. 3. 58. Como esta serie tiene una raíz digital de 9, usted puede proceder exactamente igual que con el truco del billete recién descrito, o seguir cualquier otro procedimiento que no altere la raíz digital.
Un método interesante para averiguar la edad de una persona comienza por pedirle que realice cualquiera de las operaciones que producen un número con raíz digital de 9. Dígale que a este número le sume su edad y le anuncie el total. De este total usted puede fácilmente determinar su edad. Primero saque la raíz digital del total. Ahora siga sumándole 9 hasta alcanzar el número que estime más próximo a su edad, y será su edad. Por ejemplo, suponga que pide a alguien que anote un número cualquiera y lo multiplique por 9. Esta persona lo hace y llega al número 2.826. A este número le agrega su edad de 40, y le dice que el resultado es 2.866. La raíz de este número es 4. Si a 4 se le van sumando nueves, se obtiene la serie 13, 22, 31, 40, 49, etcétera. Como no es difícil estimar la edad de una persona en lapsos de nueve años, usted establece la respuesta correcta en 40.
Los contadores suelen utilizar la raíz digital para revisar problemas de suma y multiplicación. Una suma, por ejemplo, se puede revisar de esta forma: se obtiene la raíz digital de todos los dígitos de los números a sumar, y luego se compara con la raíz digital del resultado. Si el resultado es correcto, las raíces digitales deben ser las mismas. Este hecho puede aplicarse a un truco de la siguiente manera.
Que alguien formule un problema de adición con una serie de números grandes, uno debajo del otro. Con cierta práctica, usted debería estar en condiciones de suprimir nueves casi a la misma velocidad con que la persona escribe los números; así, cuando ha completado el problema, usted conoce la raíz digital de la serle completa. Ahora, mientras él suma los números, usted se vuelve de espaldas. Si luego él marca con un círculo uno de los dígitos del resultado (que no sea cero) y enuncia los dígitos restantes, usted puede decir cuál es el número marcado. Para hacer esto se obtiene la raíz digital de los números enunciados, y se la resta de la raíz previa que usted recuerda. Si la segunda raíz es mayor que la primera, se suma 9 a la primera raíz y luego se resta: el resultado de la resta le indica el número marcado. Si ambas raíces son iguales, entonces el número marcado por supuesto es un 9.
Se puede realizar un truco similar con un problema de multiplicación, debido al hecho de que si se multiplican las raíces digitales de dos números y el producto se reduce a la raíz, ésta corresponderá a la raíz digital del producto de los dos números. En consecuencia, usted puede pedir a alguien que escriba un número bastante grande, digamos de cinco o seis dígitos, y luego escribir debajo otro número grande. Mientras él hace esto, usted obtiene la raíz de cada número, multiplica las dos raíces, y reduce el resultado a la raíz.
Ahora vuélvase de espaldas mientras él multiplica los dos números grandes. Pídale que rodee con un círculo un número cualquiera de la respuesta que no sea cero, y que le enuncie los dígitos restantes en cualquier orden. Como antes, para obtener el número marcado se resta la raíz digital de los números enunciados de la raíz digital que usted recuerda. Como antes, también, si la segunda raíz es mayor que la primera, sume 9 a la primera raíz antes de restar.
Sam Loyd, padre, discute estos dos trucos en un interesante artículo corto llamado «Caprichos de los números», Woman’s Home Compartían, Noviembre de 1904. Loyd señala correctamente que las así llamadas «propiedades misteriosas» del 9 surgen del simple hecho de que es el último dígito de nuestro sistema numérico decimal. En un sistema de notación que se basara sobre el 8 en lugar del 10, el 7 adquiriría las mismas propiedades curiosas. Podemos verificar este aserto con toda facilidad. Hagamos primero una lista de números del 1 al 20 en un sistema numérico basado sobre 8, junto con sus equivalentes en un sistema decimal.
| Sistema 8 | Sistema 10 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 10 | 8 |
| 11 | 9 |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
| 16 | 14 |
| 17 | 15 |
| 20 | 16 |
Ahora suponga que tomamos el número 341 y le restamos su forma inversa 143. Comenzamos por restar 3 de 11. Traducido a nuestro sistema decimal es lo mismo que restar 3 de 9, que nos da un resultado de 6. Seis es el mismo símbolo en los dos sistemas, de ahí que sea el último dígito del resultado. Continuamos de esta manera y obtenemos un resultado completo de 176.
| 341 |
| 143 |
| 176 |
Usted observará que el número central es 7 y los otros dos números suman 7. Esto es exactamente lo mismo que ocurre en el equivalente decimal de este truco, descrito con anterioridad, sólo que ahora el número clave es 7 en lugar de 9.
Se puede probar en forma similar todos los otros trucos basados sobre las propiedades del 9 en el sistema decimal, y se encontrarán analogías en el otro sistema, con el 7 como cifra «misteriosa». Con sólo elegir el sistema numérico apropiado, podemos transferir las propiedades mágicas a cualquier número. Vemos de este modo que estas propiedades no brotan del carácter intrínseco del 9, sino del hecho de que es el último dígito en nuestro sistema decimal de numeración.
Un error común consiste en confundir las propiedades de un número con las propiedades adquiridas por su posición en un determinado sistema numérico. De ahí que en una época se pensaba que por alguna oscura razón, el 7 aparecía con una frecuencia menor que la común en los números que forman el decimal infinito de pi. «No hay más que un solo número tratado con una injusticia que no se puede considerar accidentar», escribe Augustus De Morgan en BUDGETOF PARADOXES, «y ese número es el misterioso número siete». Por supuesto De Morgan no hablaba en serio; sabía muy bien que los dígitos de pi habrían sido por completo diferentes en otro sistema de numeración. Aun en un sistema decimal, en realidad, la aparente escasez de sietes en pi resultó ser producto de algunos errores en un primer cálculo de William Shanks. En 1873, después de quince años de ardua labor, Shanks se las arregló para calcular pi en 707 decimales inexactos (cometió un error en el dígito número 528 que desbarató todos los dígitos siguientes). En 1949, el cerebro gigante ENIAC se tomó un fin de semana libre de tareas más importantes y calculó pi en más de 2000 decimales exactos. No se halló ninguna misteriosa desviación en la frecuencia de ninguno de los dígitos. (Ver el divertido artículo de N. T. Gridgeman «Circumetrics» en The Scientific Monthly, Junio de 1953).
¿Es posible conocer de antemano el resultado de un problema de adición, en el cual todos los números son dados al azar por miembros del público? Los magos han elaborado muchas soluciones ingeniosas para este problema, que no podemos introducir aquí porque requieren el uso de asistentes, pases de magia, pizarrones trucados u otras formas de artilugios no matemáticos.
En cambio, si el ejecutante se alterna con un espectador para proporcionar los números de una suma, le será posible llevar el resultado a un determinado número sin más recursos que los puramente matemáticos. Un método simple y antiguo es el siguiente. Suponga que desea terminar con la suma 23.843. Quite el primer dígito, 2, y súmelo al número restante, lo que le dará 3.845. Éste es el primer número que usted escribe.
Ahora le pide a un espectador que escriba debajo un número cualquiera de cuatro dígitos.
3845
1528
Ahora usted escribe debajo otro número de cuatro dígitos, aparentemente al azar. En realidad, debajo de cada dígito del espectador, usted escribe su diferencia con 9.
3845
1528
8471
Se pide al espectador que escriba otro número de cuatro cifras. Una vez que lo ha hecho, usted escribe un quinto número. Como antes, elige los dígitos que suman 9.
| Ejecutante | 3845 | ||
| Espectador | 1558 | los dígitos | |
| Ejecutante | 8441 | suman nueve | |
| Espectador | 2911 | los dígitos | |
| Ejecutante | 7088 | suman nueve |
Cuando se sumen estos cinco números, el total será exactamente de 23.843.
En el ejemplo presente, el primer dígito de la respuesta indicada en la predicción era un 2. Esto significa que debe haber dos pares de números cuyos dígitos sumen 9, es decir que deben sumarse cinco números en total. Si el primer dígito de la respuesta deseada fuera un 3, entonces debería haber tres pares de números cuyos dígitos sumaran 9, y lo mismo para dígitos más altos. En todos los casos, el primer número que usted escribe se obtiene quitando el primer dígito de la respuesta deseada y sumándolo al resto. El principio se aplica a números de cualquier tamaño, siempre que todos los sumandos separados tengan la misma cantidad de dígitos.
Este truco tiene muchas variantes. Por ejemplo, usted puede pedirle al espectador que escriba el primer número. Luego usted escribe debajo el segundo número, con los dígitos que suman 9. El espectador escribe un tercer número. Usted escribe un cuarto, usando nuevamente el principio nueve. El espectador escribe el quinto y último número, luego usted traza una línea debajo de la suma e inmediatamente anota el total. O si lo prefiere, usted puede volverse de espaldas mientras el espectador hace la suma, y le da la respuesta sin ver lo que él ha escrito. Para obtener la respuesta, por supuesto, se resta 2 del quinto número, y se coloca el 2 delante de la diferencia.
Si usted quiere, puede hacer de esto un problema mucho más largo de adición. Por ejemplo, el espectador y usted escriben seis pares de números, de manera que cada par sume 99. El espectador escribe un número final, con lo que quedarían en total 13 números. Para obtener la respuesta se resta 6 del decimotercer número y se coloca el 6 delante del resto. El principio se mantiene igual si se continúa la suma hasta que haya, digamos, 28 pares de números antes del número final. Se resta 28 del último número, y se coloca 28 delante de lo que queda.
Existe aún otra variante del truco que consiste en dejar que el mismo espectador escriba la predicción. Supongamos que escribe 538. Quite el 5 y súmelo al número restante, lo que da 43. Éste es el primer número que usted escribe. Ahora usted alterna números de dos dígitos, con el principio nueve, hasta que debajo del primer número quedan anotados cinco de estos pares.
| 43 | |
| 24 | 1 |
| 75 | |
| 61 | 2 |
| 38 | |
| 22 | 3 |
| 77 | |
| 19 | 4 |
| 80 | |
| 32 | 5 |
| 67 | |
| 538 |
Por supuesto la respuesta es igual al número que el espectador ha escrito en su predicción.
El mago estadounidense Al Baker elaboró una vez una divertida presentación de este truco, al que llamó «Número»[9] y lo publicó en The Jinx, julio de 1936. En la versión de Baker, antes de revelar la predicción con el resultado de una suma, se demuestra que el total es traspasable al nombre de pila del espectador.
Se emplea el siguiente código alfabético.
| A - 1 | K - 1 | U - 1 |
| B - 2 | L - 2 | V - 2 |
| C - 3 | M - 3 | W - 3 |
| D - 4 | N - 4 | X - 4 |
| E - 5 | O - 5 | Y - 5 |
| F - 6 | P - 6 | Z - 6 |
| G - 7 | Q - 7 | |
| H - 8 | R - 8 | |
| I - 9 | S - 9 | |
| J - 0 | T - 0 |
Supongamos que el nombre de pila del espectador sea Harry. Antes de mostrar el truco, consulte el código para obtener el equivalente numérico de las letras de «Harry», es decir, 81.885. Coloque un 2 delante y obtendrá 281.885. Ésta es la predicción que usted escribe en un papel, y lo deja a un lado para usar luego como referencia.
La suma consta de cinco números. El primer número, escrito por usted, es 81.887. Este número se obtiene al sumar 2 a 81.885. Harry escribe debajo un número de cinco cifras. Sigue usted con un tercer número, usando el principio nueve. Él escribe el cuarto, y usted agrega el último, usando otra vez el principio nueve. Cuando él suma los cinco números, el resultado será por supuesto el número que usted predijo.
Aparentemente el truco terminó, pero ahora usted procede a una divertida culminación. Tache el primer dígito de la respuesta, lo que deja 81.885. Escriba el alfabeto cifrado, marque con un círculo las letras de «Harry», y muestre cómo estas letras coinciden con 81.885. El truco puede usarse, por supuesto, para producir cualquier palabra o frase. La tachadura del 2 al comienzo de la respuesta es un rasgo débil, pero resulta necesario si se quiere limitar la suma a cinco números.
Una categoría de trucos numéricos de predicción (o adivinación del pensamiento) por completo diferente se basa sobre lo que los magos llaman «fuerzas psicológicas». Estos efectos no son infalibles, pero por oscuras razones psicológicas hay más probabilidades de lo que uno podría suponer de que tengan éxito. Un ejemplo simple es la tendencia a elegir el número 7 que tiene la mayoría de la gente cuando se le pide que elija un número del 1 al 10, o el número 3 si debe elegir un número del 1 al 5.
Un truco notable de fuerzas psicológicas, cuyo inventor me es desconocido, funciona de la siguiente manera. Escriba el número 37 en una hoja de papel, y colóquela hacia abajo. Ahora dígale a alguien, «Quiero que elija un número de dos dígitos del 1 al 50. Ambos dígitos deben ser impares y diferentes entre sí. Por ejemplo, no puede elegir el 11». Curiosamente, hay buenas probabilidades de que nombre el 37. (La segunda elección más probable parece ser 35). Lo cierto es que su elección está restringida a ocho números solamente. Su mención del 11 tiende a enviar su mente a la treintena, donde al parecer 37 es el número más frecuentemente elegido.
Si tiene éxito con este truco, trate de seguirlo con otro en el que pedirá un número de dos dígitos entre 50 y 100, con ambos dígitos pares. Otra vez, los dígitos no deben ser iguales. Aquí la elección del espectador se limita a seis números, de los cuales 68 parece ser el elegido más a menudo. Si tiene a mano un mazo de cartas, puede hacer su predicción con un seis y un ocho colocados cara abajo sobre la mesa. Esto aumenta sus posibilidades de éxito porque puede exhibir dos respuestas posibles, 68 y 86, según la carta que levante primero.