Prácticamente todos los objetos comunes que llevan números han servido a los magos para hacer magia matemática. En los capítulos anteriores se han analizado trucos con naipes, la categoría más grande. En este capítulo y también en el siguiente vamos a considerar trucos matemáticos con otros objetos comunes. Tampoco esta vez se intenta hacer un tratamiento exhaustivo, porque los trucos son demasiado numerosos, pero trataré de seleccionar aquellos que resulten más entretenidos, y que ilustren la más amplia variedad de principios.
Los dados son tan antiguos como las barajas, y su origen es igualmente oscuro. Resulta sorprendente el hecho de que los dados más antiguos que se conocen, en la antigua Grecia, Egipto y Oriente, eran exactamente iguales a los modernos, es decir, con puntos del uno al seis dispuestos en las caras de un cubo de tal manera que los lados opuestos suman siete. Esto quizá no es tan sorprendente si uno considera los hechos que siguen. Sólo un poliedro regular asegura las mismas probabilidades para cada cara, y de los cinco poliedros regulares, el cubo presenta obvias ventajas como mecanismo de juego. Es el más fácil de construir, y de los cinco es el único que rueda fácilmente, pero no demasiado fácilmente. (El tetraedro y el octaedro apenas ruedan, y el icosaedro y dodecaedro son prácticamente esféricos, de modo que ruedan fuera del alcance con rapidez). Como el cubo tiene seis caras, los primeros seis números enteros se presentan inmediatamente por sí mismos, y la disposición en que las caras opuestas suman siete proporciona un máximo de simplicidad y simetría. Es la única forma, por supuesto, en que los seis números pueden parearse como para que la suma de cada par resulte una constante.
Esta suma constante en siete es la base de la mayor parte de los trucos matemáticos con dados. En los mejores trucos, sin embargo, se emplea este principio en forma tan sutil que su uso no se sospecha. Considere, por ejemplo, el siguiente truco, que es muy antiguo.
El mago se vuelve de espaldas mientras un espectador echa tres dados sobre la mesa. Se le indica que sume las caras. Luego se le pide que tome uno cualquiera de los dados, y sume el número de la cara que está en contacto con la mesa al total previo. El espectador echa nuevamente este mismo dado. El número que aparece ahora se agrega también a la suma. El mago se vuelve, y señala el hecho de que él no tiene forma de saber cuál de los tres dados se usó la segunda vez. Levanta los dados, los sacude un momento en su mano, y luego anuncia correctamente la suma final.
MÉTODO: Antes de levantar los dados, el mago suma sus caras. Si se agrega siete a este número, dará el total obtenido por el espectador.
Frank Dodd, de la ciudad de Nueva York, aportó a The Jinx (septiembre de 1937) otro ingenioso truco que usa el principio de la suma constante en siete. El mago se vuelve de espaldas, y dice al espectador que forme una pila con tres dados, uno encima del otro. Le pide que sume las dos caras que se tocan del dado superior y el medio. A esta suma debe agregar la suma de las caras que se tocan del dado medio con el inferior. Finalmente, agrega a la suma previa el lado inferior del dado que está en la base. Se cubre la pila con un sombrero.
El mago se vuelve y saca de su bolsillo un puñado de fósforos. Cuando se cuentan los fósforos, el número resulta ser el mismo que el total obtenido por la suma de las cinco caras.
MÉTODO: Una vez que el espectador sumó las caras, el mago mira atrás un momento sobre su hombro para decirle al espectador que cubra la pila con un sombrero. Al hacer esto, el mago espía la cara superior del dado superior. Vamos a suponer que es un seis. Tiene 21 fósforos en su bolsillo. El mago los toma todos, pero antes de sacar la mano, deja caer seis de vuelta en su bolsillo. En otras palabras, saca todos los fósforos menos la cantidad correspondiente al número que está en la cara superior de la pila. Ahora el número de fósforos que tiene en la mano corresponde a la suma de las cinco caras.
El hecho de que el espectador sume las caras que están en contacto, en lugar de sumar los lados opuestos del dado, sirve para ocultar el uso del principio siete. La manipulación de los fósforos fue sugerida por Gerald L. Kaufman, arquitecto neoyorquino y autor de THE BOOK OF MODERN PUZZLES.
A pesar de que el truco anterior utiliza el principio siete, en realidad es posible determinar las caras ocultas de una pila de dados con sólo observar dos caras cualesquiera de cada dado. Esto resulta posible por el hecho de que sólo hay dos formas en que se pueden numerar los dados, una la imagen especular de la otra, y por el hecho de que los dados modernos se numeran sobre una base que «va en sentido opuesto a las agujas del reloj». Esto significa que si uno sostiene un dado de manera que sólo puede ver las caras 1, 2 y 3, la secuencia de estos números indican una rotación en sentido opuesto a las agujas del reloj (Fig. 4).[3] Si uno fija mentalmente estas posiciones, y recuerda el principio siete, es posible mirar una pila de dados (la cara superior del dado superior cubierta por una moneda) y nombrar correctamente las caras superiores de cada dado. Con buena imaginación visual y un poco de práctica, se puede realizar la prueba con asombrosa rapidez.
Una cantidad de interesantes trucos de dados emplean la anotación posicional. El siguiente es típico. El espectador echa tres dados sin que el ejecutante mire. Toma el número de un dado, lo multiplica por dos, le suma cinco, y multiplica el resultado por cinco. Al total previo le suma la cara superior de un segundo dado, y multiplica el resultado por diez. Finalmente, le agrega el número del dado restante. Cuando se le dice el resultado último, el mago rápidamente nombra las caras de los tres dados.
MÉTODO: Le resta 250. Las tres cifras de la respuesta corresponden a las caras de los tres dados.
El popular juego de salón de las Veinte Preguntas (en el que un grupo trata de adivinar en qué está pensando uno de los Jugadores haciéndole no más de veinte preguntas), es un buen ejemplo de un principio que yace detrás de muchos trucos matemáticos. Lo llamaremos Principio de Eliminación Progresiva. El efecto de las tres pilas de Gergonne, que se explicó en el capítulo anterior, determina la carta elegida mediante la eliminación progresiva de dos tercios de los naipes hasta que queda una sola carta. Bob Hummer, en su folleto Three Pets, 1952, describe un truco de dados que utiliza un principio similar.
El efecto de este truco de Hummer es como sigue. El ejecutante está sentado a una mesa, pero a lo largo de todo el truco mantiene la cabeza vuelta a un lado de manera que en ningún momento puede ver el dado. Alguien hace rodar el dado y lo coloca bajo las manos ahuecadas del mago. Ahora se le pide a un espectador que piense un número del 1 al 6. El ejecutante levanta sus manos ahuecadas como para que el espectador vea el dado. Se ha colocado de tal manera que quedan visibles tres de sus caras, y se le pregunta al espectador si ve o no ve su número. El mago ahueca nuevamente sus manos sobre el dado y altera su posición. Levanta sus manos y una vez más el espectador dice si ve o no ve su número entre las tres caras visibles. Esto se repite por tercera vez. Ahora el ejecutante cubre el dado y ajusta su posición. Cuando levanta las manos, el número elegido es el de la cara superior del dado.
MÉTODO: Con una pequeña reflexión se puede ver que tres preguntas son harto suficientes para eliminar todos los números salvo el elegido. Si usted tiene una buena inventiva visual debería estar en condiciones de realizar el truco en forma inmediata. La primera pregunta elimina tres de las caras. Luego debe girar el dado como para que dos de las tres caras posibles resulten visibles al espectador, sin perder de vista la posición de la tercera cara posible. Si el espectador no ve su número, usted sabe inmediatamente que es la tercera cara, así que la tercera pregunta no es necesaria. En el caso de que sí vea su número, usted sabe que es una de dos caras, y queda una simple cuestión de girar él dado como para que una pregunta final señale el número.
El mecanismo del truco es independiente de la disposición de los números en el dado, lo que significa que el truco puede realizarse con un cubito de azúcar. El espectador puede marcar con lápiz un número diferente en cada cara o, si prefiere, puede dibujar letras o símbolos. Otra presentación posible es hacer que el espectador marque una sola cara del cubo dejando las otras en blanco. En este caso, él simplemente le dice cada vez si ve o no ve la cara marcada, y el truco termina con la cara marcada hacia arriba. (Para una versión elaborada del truco de Hummer, con un diferente principio de eliminación, ver MINDS IN CLOSE-UP, 1954, publicado por Goodliffe, 15 Booth Street, Birmingham, Inglaterra).
El dominó se ha usado mucho menos para la magia matemática que los dados o las cartas. El siguiente truco es uno de los más conocidos.
El mago escribe una predicción en un papel, que se dobla y se pone a un lado. Se mezclan las fichas de dominó, y luego se forman en una sola cadena haciendo coincidir los números de los extremos, como en el juego común. Una vez que se ha completado la cadena, se anotan los números de cada extremo. Luego se abre el papel. ¡Tiene escritos los dos números! Se repite el truco varias veces, con números diferentes en cada repetición.
MÉTODO: El mecanismo se basa sobre el hecho de que en una cadena formada con un juego completo de dominó (usualmente 28 fichas) los números de los extremos siempre coinciden. Sin embargo, el mago roba secretamente una ficha antes de que el truco comience, y recuerda los dos números. Éstos son los números que escribe en su predicción. Como el juego completo forma un circuito continuado, la ficha que falta va a coincidir con los números finales de la cadena. Para repetir el truco es necesario que el mago reponga subrepticiamente la ficha robada, y tome una diferente. En cada caso, la ficha debe tener números distintos (no una doble).
Otro excelente truco de dominó emplea trece fichas colocadas cara abajo en una fila. Mientras el mago está ausente de la habitación, alguien desplaza de un extremo al otro de la fila cualquier número de fichas entre 1 y 12, una por vez. Se llama al mago de vuelta, quien inmediatamente abre un dominó. La suma de los puntos en su cara indica el número de fichas desplazadas. Se puede repetir el truco cuantas veces se desee.
MÉTODO: Las trece fichas deben llevar puntos que, sumados, correspondan a las primeras doce unidades. La ficha número trece es un doble blanco. Se colocan en fila, cara abajo, en orden consecutivo, comenzando con el 1 a la izquierda. El último dominó a la derecha es el doble blanco. Para ilustrar cómo deben moverse las fichas, el mago desplaza unas pocas del extremo izquierdo al derecho. Antes de dejar la habitación, observa el número de puntos del dominó que quedó en la punta izquierda. Cuando regresa, cuenta mentalmente hasta la ficha que quedó en esa posición desde la derecha. Por ejemplo, si la ficha de la izquierda era un 6, cuenta hasta el sexto dominó desde la derecha. Ésta es la ficha que abre. Si el dominó de la izquierda es el blanco, se lo considera con valor de 13.
Para repetir el truco, el mago sólo tiene que contar mentalmente a partir de la ficha expuesta hasta la de la izquierda, y comprobar su valor antes de dejar la habitación otra vez.
Un detalle divertido del truco es que si alguien trata de burlar al mago y no mueve ninguna pieza, la ficha que se abra será el doble blanco.
La disposición de los números en una página de calendario ha proporcionado material para muchos trucos inusuales. Éstos son algunos de los mejores.
Mientras el mago mira para otro lado, un espectador elige un mes del calendarlo, y dibuja sobre la página un cuadrado en la posición y con el tamaño necesario como para que abarque nueve fechas. Se le dice al mago el más pequeño de estos números. Después de un momento de cálculo, el mago anuncia la suma de los nueve números.
Método: Al número dado se le suma ocho y el resultado se multiplica por nueve. Para algunos otros trucos similares a éste, ver «Calendar Conjuring», de Tom Sellers, en la p. 117 de Annemann’s Practical Mental Effects, 1944.
En la página 119 del libro citado más arriba aparece un truco más complejo, inventado por el escritor neoyorquino Walter B. Gibson. El manejo que se dará aquí es algo diferente del de Gibson, y fue elaborado por Royal V. Heath, un corredor de Bolsa de Nueva York. El mago Milboume Cristopher realizó una presentación escénica del efecto que puede hallarse en Hugard’s Magic Monthly, marzo de 1951.
Al comienzo del truco, un espectador elige una página mensual cualquiera del calendarlo. El mago se vuelve de espaldas y pide al espectador que marque con un círculo una fecha tomada al azar en cada una de las cinco líneas horizontales. (Si las fechas alcanzan una sexta línea, como sucede en raras ocasiones, la sexta línea se ignora). Luego se suman las fechas marcadas y se obtiene un total.
Siempre de espaldas, el mago pregunta: «¿Cuántos domingos ha marcado?». A esto le sigue: «¿Cuántos lunes?» y continúa así hasta completar los días de la semana. Después de la séptima y última pregunta, el ejecutante está en condiciones de dar la suma de las cinco fechas marcadas.
MÉTODO: La columna vertical encabezada por el primer día del mes tiene un número clave que es 75. Cada columna sucesiva hacia la izquierda tiene una clave de cinco menos (si el primer día del mes es domingo, por supuesto no habrá columnas a la izquierda). Esto permite al mago echar un vistazo a la página del calendarlo antes de volverse, y determinar rápidamente la clave de la columna del domingo. Por ejemplo, si el primer día del mes es miércoles, entonces la columna del martes tiene una clave de 70, la columna del lunes 65, y la del domingo 60. El mago sólo retiene el número 60, la clave de la primera columna de la página.
A pesar de que la primera pregunta indaga el número de domingos marcados, el mago ignora por completo la respuesta. Al número de lunes marcados se le suma 60. El número de martes marcados se multiplica por dos y se suma el total previo. Los miércoles se multiplican por tres y se suman a la cuenta. Jueves por cuatro, viernes por cinco y sábados por seis. (Se pueden usar los dedos para seguir estos seis enteros). El total último será equivalente a la suma de los números marcados.
El que sigue es otro ingenioso truco de calendario, inventado por Mel Stover. En una página cualquiera del calendario, el espectador traza un cuadrado que abarca dieciséis fechas. El mago mira el cuadrado y luego escribe una predicción. Ahora el espectador elige cuatro números del cuadrado, aparentemente al azar, de la siguiente manera. Primero rodea con un círculo cualquiera de las dieciséis fechas. Las columnas verticales y horizontales que contienen esta fecha se tachan. Ahora el espectador rodea con un círculo cualquiera de las fechas restantes, es decir, alguna que no esté tachada. Nuevamente se eliminan las filas verticales y horizontales que contienen esta segunda fecha. De la misma manera se elige una tercera fecha y se tachan sus dos filas. A esta altura todas las fechas quedarán tachadas menos una. Esta última fecha se rodea con un círculo. Se suman los cuatro números marcados. El resultado de la suma es exactamente lo que predijo el ejecutante.
MÉTODO: El mago observa dos números ubicados en esquinas, opuestos diagonalmente entre sí. No tiene importancia qué par se use. Para obtenerla respuesta, estos números se suman y el resultado se duplica.
Una aplicación simple del mismo principio, que no requiere calendario, consiste en dibujar un tablero con dieciséis cuadros y numerarlos del 1 al 16 en el orden normal de lectura. El espectador elige cuatro números mediante el procedimiento descrito, y los suma. En todos los casos, el total será 34. El principio puede ser aplicado, por supuesto, a cuadrados del tamaño que se desee.
Una prueba muy popular entre profesionales expertos en memoria es la de dar rápidamente el día de la semana de cualquier fecha que nombre alguien del público. Este truco requiere un complejo cálculo que se puede hacer en forma mucho más rápida mediante el uso de mecanismos mnemotécnicos. Se describen métodos excelentes en CALENDAR MEMORIZING, de Bernard Zuffall, 1940 (el n.º 3 de una serle de folletos titulados ZUFALL’S MEMORY TRIX), y en MATH MIRACLES, de Wallace Lee, 1950. Este efecto aparece en muchos libros de entretenimiento matemáticos, así como en libros de mnemotécnica.
Uno de los trucos de magia más antiguos se realiza con un reloj y un lápiz. Se pide al espectador que piense en cualquier número de la esfera. El mago comienza a dar golpecitos con el lápiz en diferentes números, aparentemente al azar. A medida que el mago golpea, el espectador cuenta en silencio, partiendo de pensar su número en el primer golpecito. Cuando llega a contar veinte dice «Alto». Curiosamente, el lápiz del mago descansa en ese momento sobre el número original que había elegido mentalmente.
MÉTODO: El mago da sus ocho primeros golpecitos al azar. El noveno golpe se hace sobre el 12. A partir de ese punto, los números se golpean en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el 12. Cuando el espectador diga «Alto», el lápiz descansará sobre el número elegido.
En lugar de indicarle al espectador que lo detenga al llegar a 20 en su cuenta silenciosa, usted puede decirle que lo haga en cualquier número mayor que 12. Por supuesto él tendrá que avisarle en qué número se propone decir «Alto». Reste simplemente 12 de este número. El resto le indicará cuántos golpecitos deben hacerse al azar antes de golpear el 12 y continuar en sentido inverso a las agujas del reloj.
El principio del golpeteo que aquí se emplea fue aplicado a docenas de otros efectos, algunos de los cuales mencionaremos en el sexto capítulo. En su folleto TRICKS FOR INFORMAL OCCASIONS, Eddie Joseph describe un truco con 16 tarjetas en blanco o tiras de papel, cuyo mecanismo es el mismo que el efecto del reloj. La gente del público propone dieciséis palabras. Cada palabra se escribe en una de las tarjetas blancas, y luego se las identifica al dorso con letras desde la A a la Ñ (incluyendo la CH). Se mezclan las tarjetas sobre la mesa. El mago se vuelve de espaldas; alguien elige una tarjeta, observa tanto la palabra como la letra, y luego la vuelve a colocar mezclada con las otras. Ahora el mago levanta las tarjetas y las abre en abanico en su mano, con el lado de las palabras hacia el público. Toma tarjetas aparentemente al azar y las tira de a una por vez sobre la mesa; mientras, el espectador recita para sí las letras del alfabeto, comenzando por pensar la letra de su tarjeta elegida Justo antes de que el mago dé vuelta la primera tarjeta. Sigue asi, pensando las letras siguientes una por vez antes de que el mago dé vuelta cada tarjeta; cuando piensa Ñ dice «alto». La tarjeta que el mago está a punto de tirar resulta ser la elegida.
Para realizar este truco tire simplemente las tarjetas en el orden alfabético inverso comenzando por Ñ.
El que sigue es otro truco con reloj, de mi propia invención. Mientras el mago se coloca de espaldas un espectador echa un dado. Luego piensa en un número cualquiera, preferiblemente no mayor de 50 para que el truco sea más rápido. Vamos a suponer que elige 19. Empezando por el número de la esfera del reloj indicado por el dado, el espectador comienza a dar golpecitos en el sentido de las agujas del reloj; da 19 golpecitos. El número que se alcanza con el decimonoveno golpecito se anota en un papel. Luego regresa al punto de partida (el número del dado) y sigue el mismo procedimiento, pero esta vez en el sentido inverso. Otra vez se anota el número al que se ha llegado en el golpecito número 19. Los dos números se suman. Se dice en voz alta el total. Inmediatamente el mago anuncia el número del dado.
Método: Si el número es menor que 12, se lo divide por 2 para obtener la respuesta. Si pasa de 12, el mago resta 12 y divide el resultado por 2.
Durante más de veinticinco años, Roy al V. Heath realizó un interesante truco con el número de serie de un billete de dólar. El efecto es como sigue. Un espectador toma un billete de su bolsillo y lo sostiene de tal manera que el ejecutante no puede ver su número de serie. Se le pide que haga la suma de los primeros dos dígitos, luego la suma del segundo y el tercero, el tercero y el cuarto, y asi hasta que se alcanza el final del número de ocho dígitos. Se le pide una suma adicional, la del segundo y el último dígito. A medida que se le dicen estos totales, el mago los anota en un papel. Después de un breve cálculo mental, está en condiciones de anunciar el número de serle original. La fórmula que se emplea para calcular el número se publica aquí con el permiso del señor Heath.
MÉTODO: A medida que el espectador va diciendo las sumas de los pares de dígitos, anótelos en una hilera de izquierda a derecha. Cuando se llegue al final del número de serie tendrá anotadas siete sumas. Ahora pregunte por la suma del segundo y el último dígito, y agréguela al final de la hilera. Luego, sume las sumas segunda, cuarta, sexta y octava, y anote fuera de la hilera el resultado.
El paso siguiente consiste en sumar mentalmente los números tercero, quinto y séptimo de su hilera de sumas. Reste este total del primer total, y divida el resto por dos. La respuesta le dará el segundo dígito del número de serie original. Obtener los otros dígitos ahora es fácil. El primer dígito del número de serie original se obtiene al restar el segundo dígito de la primera suma. Al restar el segundo dígito de la segunda suma se obtiene el tercer dígito. Al restar el tercer dígito de la tercera suma se obtiene el cuarto dígito, y así hasta el final, ignorando la suma final. El ejemplo que muestra la figura 5 hará esto más claro.
El método se aplica a cualquier número que contenga un número par de dígitos, y en consecuencia es el método que se usa con los números de serie de los billetes de dólar, que siempre contienen ocho dígitos. Sin embargo, usted tal vez quiera realizar el mismo truco con alguna otra serie de números que puede contener un número impar de dígitos, como el número telefónico de una persona, o su número de documento. En este caso, el procedimiento y la fórmula a usar son algo diferentes.
Una vez que obtiene todas las sumas sucesivas, en lugar de pedir la suma del segundo y el último de los dígitos pida en cambio la suma del último y el primero. Para averiguar el número original, primero debe obtener los totales de todos los números alternados (en su hilera de sumas) comenzando por la primera suma en lugar de la segunda. De este total usted resta el total de todas las sumas alternadas restantes. El resto dividido por dos le da el primero (y no el segundo) dígito del número original del espectador. Ahora es fácil obtener los otros dígitos. La figura 6 muestra el procedimiento a seguir, suponiendo que el número de teléfono del espectador es 3-1-1-0-7.
No es necesario que los números de la serle original sean dígitos. De hecho, usted puede pedirle a alguien que anote una lista de números, haciendo cada número tan grande o tan pequeño como quiera. No necesita preguntar si es un número par o impar de números, porque lo sabrá cuando el espectador haya terminado de anunciar las sumas de dos en dos. Entonces usted pregunta por la suma del último y el primer número, o la suma del último y el segundo (depende de que la serle original de números sea par o impar), y procede de la manera que se ha explicado.
Se han diseñado muchos trucos matemáticos que utilizan objetos pequeños como unidades de cuenta. Ya he descrito algunos de esta naturaleza en el primer capítulo donde las unidades de cuenta eran naipes. Los efectos siguientes se prestan muy bien al empleo de fósforos, a pesar de que por supuesto podrían usarse otros objetos pequeños como por ejemplo monedas, guijarros o pedacitos de papel.
El mago se vuelve de espaldas al público mientras alguien forma tres montones de fósforos sobre la mesa. Se puede usar cualquier número de fósforos siempre que los tres montones sean iguales, y que haya más de tres fósforos en cada uno. El espectador dice un número cualquiera del 1 al 12. A pesar de que el mago ignora el número de fósforos que tiene cada montón, está en condiciones de indicar cómo mover los fósforos para que el número del montón del centro sea igual al número dicho por el espectador.
MÉTODO: Se le pide al espectador que tome tres fósforos de cada uno de los dos montones que están en los extremos, y los agregue al del centro. Luego debe contar el número de fósforos de alguno de los montones de los extremos, y retirar ese mismo número del montón del centro para colocarlo en cualquiera de los otros dos. Este procedimiento deja siempre nueve fósforos en el montón central, de manera que es sencillo dar instrucciones para llevar este montón a la suma deseada.
Frederick DeMuth publicó en uno de los primeros ejemplares de The Jinx un truco que emplea un principio similar. Se necesita una carterita de fósforos nueva, de las que tienen veinte unidades. El mago propone que, mientras él se vuelve de espaldas, el espectador arranque algunos fósforos (deben ser menos de diez), y los guarde en su bolsillo. Luego cuenta el número que quedó en la carterita. Vamos a suponer que es 14. Se arrancan de la carterita los suficientes fósforos adicionales como para formar «14» sobre la mesa. Este «14» se forma colocando un fósforo a la izquierda para representar el primer dígito, y cuatro fósforos a la derecha para representar el segundo. Estos fósforos se levantan y también se guardan en el bolsillo. Finalmente, el espectador arranca algunos fósforos más y los sostiene en su puño cerrado. El mago se vuelve, echa un rápido vistazo a la carterita, y dice el número de fósforos que el espectador tiene en la mano.
MÉTODO: El número de fósforos que queda en la carterita se resta de nueve.
Hay una antigua prueba de fósforos que utiliza un principio por completo diferente. Habitualmente se presenta en la forma de un cuento acerca de dos vagabundos y cinco gallinas. El mago pone sobre la mesa cinco fósforos que representan las gallinas. Un solo fósforo en cada mano representa a los vagabundos. Éstos se roban las gallinas tomándolas de a una por vez. (Los cinco fósforos se levantan de a uno por vez, alternando las manos). Pero los vagabundos oyen que el granjero se acerca, así que reponen las gallinas. (Uno por uno, los fósforos se vuelven a poner sobre la mesa). Los vagabundos se esconden tras los arbustos, y una vez que el granjero pasó de largo sin descubrirlos, se deslizan hacia donde están las gallinas, y las toman de nuevo. (Se levantan los fósforos igual que antes). En este punto uno de los vagabundos comienza a quejarse. Por alguna curiosa razón él tiene una sola gallina (la mano izquierda se abre para mostrar sólo dos fósforos), mientras que el otro vagabundo tiene cuatro (la mano derecha se abre para mostrar cinco fósforos).
MÉTODO: La primera vez que se levantan los fósforos, la mano derecha toma el primer fósforo. Al volver a colocarlos, la mano izquierda pone el primer fósforo. Esto deja vacía la mano izquierda, pero el mago la mantiene cerrada como si aún contuviera un fósforo. Cuando vuelve a levantar los cinco fósforos comienza con la mano derecha. Esto deja cinco fósforos en la mano derecha y dos en la izquierda.
Otro antiguo truco de fósforos utiliza 24 fósforos colocados sobre la mesa al lado de tres objetos pequeños, digamos una moneda, un anillo y una llave. Se invita a participar a tres espectadores, a los que llamaremos 1, 2 y 3. Se le da un fósforo al espectador 1. Dos fósforos al espectador 2. Tres fósforos al espectador 3. Ahora usted se vuelve de espaldas y pide a cada espectador que tome uno de los tres objetos. Denominemos a los objetos A, B y C.
Dígale a la persona que tomó A que retire tantos fósforos como los que tiene en la mano. Dígale a la persona que tomó B que retire el doble de los que ya tiene. Dígale al espectador restante, el que tomó C, que retire cuatro veces la cantidad de fósforos que ya tiene. Los tres espectadores se guardan en el bolsillo su objeto y sus fósforos.
Ahora usted se vuelve hacia el público, mira el número de fósforos que quedan, e inmediatamente le dice a cada persona cuál es el objeto que tomó.
MÉTODO: Si queda 1 fósforo, los espectadores 1, 2 y 3 tienen los objetos A, B y C, en ese orden.
El truco aparece explicado en diversos tratados medievales de entretenimientos matemáticos. Para un análisis más reciente, ver MATHEMATICAL RECREATIONS, edición americana revisada, 1947, página 3 y ss. En THE MAGICIAN’S OWN BOOK, páginas 23 y 218, se proponen mecanismos mnemotécnicos para realizar el truco con algunas variantes. A partir de 1900 han aparecido muchas versiones de este efecto, con diferentes mecanismos de memorización, publicadas en libros, o vendidas como trucos individuales.
La regla mnemotécnica más común es una lista de palabras en las cuales ciertas consonantes representan a los tres objetos. Por ejemplo, Clyde Cairy, de East Lansing, Michigan, propone hacer el truco con un terrón de azúcar, una llave y una barrita de rouge.[4] Hay que memorizar las siguientes palabras:
| 1 | TELAR |
| 2 | ALTAR |
| 3 | ATRIL |
| 4 | ALERTA |
| 5 | RÓTULO |
| 6 | RELATO |
La letra T representa el terrón de azúcar, la L representa la llave y la R el rouge. Las tres letras aparecen en cada palabra en un orden que corresponde al orden de los objetos. El número que está encima de cada palabra indica el número de fósforos restantes.
George Blake, de Leeds, Inglaterra, publicó en 1951 un ingenioso manejo del truco en el que los fósforos restantes se ocultan en una cajita de fósforos mientras el mago aún está de espaldas. Debe consultarse su manuscrito La Triple Adivinación ABC por su ingenioso pase mágico para averiguar el número de fósforos escondidos en la cajita. En este caso sólo nos interesa su fórmula simplificada. Se designa los objetos como A, B y C, y se memoriza la siguiente frase:
Abuelo Esteban: ¿Sacó (Pepe) la bici de carrera del club?
| 1 | ABUELO |
| 2 | ESTEBAN: |
| 3 | ¿SACÓ |
| (4) | (PEPE) |
| 5 | la BICI |
| 6 | de CARRERA |
| 7 | del CLUB? |
Usted notará que cada sustantivo sólo contiene dos de las letras clave, pero en cada caso la letra que falta se sabe fácilmente pues es la que sigue al par que está en la palabra clave. Así, la primera palabra le indica AB, a lo que usted le agrega la letra que falta para completar ABC. La cuarta palabra, PEPE, se incluye sólo para que cada palabra coincida con el número de fósforos restantes, lo que simplifica la tarea de contar hasta la palabra deseada. Por supuesto no es posible que queden cuatro fósforos, en consecuencia, PEPE no contiene letras clave.
Oscar Weigle utiliza un tipo similar de frase. Divide los objetos en pequeño, mediano y grande. Las iniciales de esas palabras, P, M y G son las letras clave en la siguiente frase:
Pamela compra y paga (ante) amigos de golpe gime
| 1 | PAMELA |
| 2 | COMPRA |
| 3 | Y PAGA. |
| (4) | (ANTE) |
| 5 | AMIGOS |
| 6 | de GOLPE |
| 7 | GIME. |
Igual que en la frase de Blake, cada palabra contiene dos letras clave, a las que se agrega la letra que falta.
Las monedas poseen tres propiedades que los trucos matemáticos pueden explotar. Pueden usarse como unidades de cuenta, tienen valores numéricos, y también una «cara» y una «cruz». He aquí tres efectos, cada uno de los cuales ilustra una de las tres propiedades.
Se coloca sobre la mesa una docena de monedas o más en la forma de un nueve (Figura7). Mientras el mago está de espaldas, alguien piensa un número cualquiera, mayor que el número de monedas que forman la cola del nueve. Comienza a contar a partir del extremo final de la cola, y cuenta hacia arriba y en tomo del nueve en sentido opuesto a las agujas del reloj, hasta que llega al número que pensó. Entonces empieza a contar de nuevo a partir de 1, comenzando por la última moneda tocada, pero esta vez cuenta en tomo del circulo en el sentido de las agujas del reloj, y lo circunda hasta que alcanza el número elegido otra vez. Se esconde un pequeño pedacito de papel debajo de la moneda en que terminó la cuenta. El mago se vuelve hada la mesa e inmediatamente levanta esta moneda.
MÉTODO: No importa el número que haya elegido, la cuenta terminará siempre en la misma moneda. Pruebe primero con cualquier número, haciendo la cuenta mentalmente, para ver en qué moneda terminará. Si repite el truco, agregue monedas a la cola del nueve para que la cuenta caiga en una moneda diferente.
Un antiguo truco que utiliza los valores de las monedas se realiza del siguiente modo. Pida a alguien que sostenga una moneda de diez centavos en un puño, y una moneda de un centavo en el otro puño. Dígale que multiplique por ocho (o cualquier número par que quiera usar) el valor de la moneda que tiene en su mano derecha, y que multiplique por cinco (o cualquier número impar que se le ocurra) el valor de la otra moneda. Él suma los resultados y le dice si la respuesta es par o impar. Entonces usted le dice qué moneda está en qué mano.
MÉTODO: Si el número que le da es par, en la mano derecha tiene el centavo. Si es impar, tiene la moneda de diez.
Royal V. Heath propone una divertida variante de este truco en su libro MATHEMAGIC. En esta versión el espectador tiene un centavo en un puño y una moneda de cinco centavos en el otro. Pídale que multiplique por catorce la moneda que tiene en su mano izquierda. Una vez que hizo esto, pídale que haga lo mismo con la otra moneda. Él suma entonces los dos resultados y le da el total. Usted medita un momento, como si estuviera realizando mentalmente unos cálculos complicados, y luego le dice qué moneda está en qué mano.
MÉTODO: El total que le da el espectador no tiene absolutamente nada que ver con el truco. Sólo fíjese qué mano le toma más tiempo para hacer la multiplicación mental. Por supuesto será la mano con la moneda de cinco centavos.
Un interesante truco que emplea las dos caras de la moneda comienza al poner sobre la mesa un puñado de cambio. El mago se vuelve de espaldas y pide a alguien que comience a dar vuelta las monedas de a una por vez, tomándolas al azar. Cada vez que da vuelta una moneda dice en voz alta «Vuelta». Sigue haciendo esto todo el tiempo que quiera, y puede volver la misma moneda cuantas veces se le ocurra. Luego cubre una moneda con su mano. El ejecutante se vuelve y establece correctamente si la moneda cubierta es cara o cruz.
MÉTODO: Antes de ponerse de espaldas, cuente el número de caras que se ven. Cada vez que él dice «Vuelta», sume 1 a este número. Si el resultado final es par, al terminar habrá un número par de caras. Si es impar, habrá un número impar de caras. Con sólo examinar las monedas descubiertas, se determina fácilmente si la moneda oculta es cara o cruz.
Este truco se puede realizar con cualquier grupo de objetos que puedan ponerse en una de dos posiciones posibles: tapitas de gaseosas, pedazos de papel con una X en un lado, naipes, carteritas de fósforos, etcétera.
Una variante más compleja de este truco aparece en PROFESSIONAL MAGIC FOR AMATEURS, 1947, de Walter Gibson. Se utilizan tres pedazos de cartón. Hay un punto de color en el frente y en el dorso de cada cartón, es decir, seis puntos en total, cada punto de un color diferente. El truco se presenta tal como se hace con las monedas. Para calcular el color de la tarjeta cubierta, considere cada una como si tuviera una «cara» y una «cruz». Por ejemplo, los tres colores primarios —rojo, amarillo y azul— pueden considerarse «caras», y los tres colores secundarios —verde, naranja y violeta— pueden considerarse «cruces». También es necesario recordar qué par de colores hay en cada tarjeta. Esto es fácil de recordar si los pares son colores complementarios; por ejemplo; rojo y verde, azul y naranja, violeta y amarillo. Si se sabe el número de colores «cara» que deberían aparecer cara arriba al final, es sencillo calcular cuál es el color cara arriba de la tarjeta cubierta.
Los colores de las tres tarjetas pueden por supuesto reemplazarse por palabras, letras, números, símbolos, etcétera. Si usted tiene talento mnemotécnico, pídale al espectador que diga seis palabras cualesquiera que usted escribirá sobre las seis caras de las tarjetas. Es necesario memorizar las palabras en pares, y también designar a una de ellas como «cara» y a la otra como «cruz». O más simplemente, asignar el valor 1 a tres de las palabras, y el valor 0 a sus respectivas parejas.
En su manuscrito Three Pets, Bob Hummer describe un truco con dos monedas de cinco centavos y tres monedas de un centavo que emplea el mismo principio de volteo. Su truco con la ficha de poker, que se explicará en el Capítulo Seis, funciona por un principio similar, lo mismo que otro truco con fichas de poker aportado a The Phoenix, 1.º de mayo de 1942, por el Dr. L. Vosburgh Lyons, de la ciudad de Nueva York.
Bob Hummer fue el primero, creo, en concebir un truco matemático con un tablero de ajedrez. El truco fue comercializado bajo el nombre de «Acertijo para Políticos», y se incluye aquí con el permiso de Hummer. La versión comercializada empleaba un tablero de cartón en miniatura, con seis cuadros por lado, pero el efecto se puede extender fácilmente a un tablero de tamaño regular.
Se le dan tres fichas a un espectador. Mientras el mago está de espaldas, el espectador coloca las fichas en la hilera de la esquina indicada por las tres A en la Figura 8, o en la hilera de la esquina opuesta, indicada por las tres B. Ahora el espectador deletrea mentalmente las letras de su nombre, y mueve cualquier ficha que quiera para cada letra. Las movidas se hacen en cualquier dirección, como si las fichas fuesen reyes. Después de haber deletreado su nombre, lo deletrea de nuevo, moviendo las fichas al azar como antes. Sigue haciendo esto todo el tiempo que quiera, pero debe detenerse al terminar uno de los deletreos. Entonces usted se vuelve, mira el tablero, y le dice si comenzó con sus fichas en la esquina superior derecha, o en la inferior izquierda.
MÉTODO: El nombre a deletrear debe tener un número par de letras. Si el nombre y el apellido del espectador tienen ambos un número par de letras, puede elegir cualquiera para deletrear. Si uno es par y el otro es impar, pídale que deletree el par. Si ambos son impares, debe deletrear su nombre completo (puesto que la suma de dos números impares es siempre par).
Cuando usted se vuelva hacia el tablero, examine las hileras verticales pares, considerando las hileras como si estuvieran numeradas de izquierda a derecha en la forma que se muestra. Si en esas hileras encuentra un número par de piezas (cero se considera par), entonces sabrá que el espectador comenzó en la esquina inferior derecha. En caso contrario, comenzó en la superior izquierda. Una vez que se comprendió el principio, se presentarán por sí mismas otras variantes.
Un truco bellamente concebido con la utilización de tres pequeños objetos, fue comercializado por Bob Hummer en 1951 bajo el título «Monte de las Tres Cartas Matemáticas». A pesar de que la descripción de Hummer emplea tres naipes, el efecto es aplicable a tres objetos cualesquiera. Se lo explica aquí con el permiso de Hummer.
Se colocan los tres objetos en fila sobre la mesa y se designan sus posiciones como 1, 2 y 3. Estos números no se refieren a los objetos sino a sus posiciones. El mago se vuelve de espaldas. El espectador entonces cambia la posición de dos de los objetos, y dice los números en las dos posiciones. Es decir, si cambia los objetos en las posiciones 1 y 3, dice en voz alta los números 1 y 3. Continúa cambiando pares de objetos todas las veces que quiera, y con cada cambio dice siempre los números correspondientes. Cuando se cansa de hacer esto, se detiene y piensa en uno cualquiera de los tres objetos. Entonces cambia la posición de los otros dos, sin decirle al mago las posiciones involucradas en este cambio. Una vez hecho esto, comienza otra vez a cambiar pares al azar, diciendo cada vez las posiciones cambiadas, y continúa hasta que se cansa. El mago se vuelve e inmediatamente señala el objeto elegido.
MÉTODO: Mientras usted está de espaldas, utiliza una mano como mecanismo de cálculo. Designa tres de sus dedos como 1, 2 y 3. Antes de volverse de espaldas, observe la posición de uno cualquiera de los objetos. Supongamos que los tres objetos son un anillo, un lápiz y una moneda, y usted observa que el anillo está en posición 1. Coloque su pulgar contra la punta del dedo al que llama 1.
A medida que el espectador le dice los cambios, su pulgar se mueve de dedo en dedo, siguiendo sólo la posición del anillo. Es decir, si el primer cambio involucra 1 y 3, usted mueve su pulgar al dedo 3. Pero si el cambio es 2 y 3, es decir que el anillo no está involucrado, usted no hace nada y deja su pulgar sobre el dedo 1.
Después de que el espectador pensó en uno de los objetos e hizo su cambio secreto de los otros dos, comienza a anunciar sus cambios otra vez. Usted continúa siguiendo el anillo, a pesar de que este cambio secreto pudo haber cambiado la posición del anillo.
Al concluir los cambios, su pulgar descansará sobre un dedo. Digamos que está tocando el dedo número 2. Mire en la mesa la posición 2. Si el anillo está en esta posición, usted sabrá inmediatamente que el espectador pensó en el anillo, porque su posición permaneció sin cambiar durante todo el truco.
Si el anillo no está en la posición que indica su pulgar, entonces mire los otros dos objetos. Naturalmente serán el anillo y otro objeto. El objeto que no es el anillo será aquél en el que se pensó.
El método es deliciosamente simple. Si usted juega con el efecto durante un rato, pronto descubrirá por qué funciona. En realidad, es un problema de lógica elemental, y los dedos se usan como una simple máquina lógica.
El truco es altamente efectivo cuando se lo realiza con tres cartas colocadas cara abajo. Lo único que usted necesita es hacer una marca secreta en el dorso de una de las cartas, por ejemplo un punto con un lápiz, o un ligero doblez en una esquina. Ésta es la carta que usted sigue con sus dedos mientras está de espaldas. Cuando llega el momento en que el espectador piensa en una de las cartas, por supuesto tiene que mirarle el frente y recordarlo. Cuando usted se vuelve puede abrir inmediatamente la carta elegida, a pesar de que los frentes de los naipes le fueron ocultados durante todo el truco.
Una excelente variante para hacer sobre una mesa de comedor es volverse de espaldas y dejar que el espectador esconda un terrón de azúcar debajo de uno de tres pocillos de café invertidos. Primero pídale que cambie las posiciones de los dos pocillos vacíos, sin decirle a usted cuáles son. Luego cambiará pocillos al azar, deslizándolos sobre la mesa, diciendo cada vez las dos posiciones involucradas. Usted gira e inmediatamente levanta el pocillo que cubre el terrón, a pesar de que el mismo espectador pudo haber perdido el rastro de dónde está el terrón. Para hacer esto es preciso encontrar una pequeña grieta o marca de identificación en uno de los pocillos para poder seguirlo con sus dedos de la manera previamente explicada.
Si cuando usted está de espaldas los espectadores están en posición de observarlo, ponga sus manos en los bolsillos. De esta forma no se notará el uso de sus manos como mecanismo de cálculo.
En el libro MINDS IN CLOSE UP (ya citado), Jack Yates describe un intrigante truco con cuatro fósforos. El truco se le ocurrió a partir del truco de Hummer que se acaba de explicar, y se presenta de la siguiente manera. Se colocan cuatro fósforos lado a lado en una fila sobre la mesa. Tres de los fósforos están puestos en una dirección, y un fósforo en la dirección opuesta para distinguirlo de los otros. Mientras el mago está de espaldas, un espectador cambia los fósforos de lugar de una manera que parecerá completamente azarosa. Aún de espaldas, el mago pide al espectador que saque primero un fósforo, luego otro, y luego otro, dejando un solo fósforo sobre la mesa. El fósforo que quedó es el invertido.
Puede repetirse el truco muchas veces, pero siempre con el mismo resultado. El truco se incluye aquí, y no bajo el subtítulo previo de fósforos, porque se puede hacer con cuatro objetos cualesquiera.
MÉTODO: Los cuatro fósforos u objetos se colocan sobre la mesa en posiciones que designaremos como 1, 2, 3, y 4. Pida a alguien que nombre uno de los objetos. Si son fósforos, pídale que dé vuelta uno de ellos. Fíjese en su posición antes de volverse de espaldas. Ahora pídale al espectador que haga cinco movidas, cada vez cambiando el objeto elegido o el fósforo invertido por un objeto adyacente (otro fósforo). Si el objeto elegido está en uno de los extremos de la hilera, por supuesto podrá ser movido de una sola manera, pero si no está en un extremo podrá ser cambiado tanto por el objeto de la derecha como por el de la izquierda.
Como el espectador no le dice nada en absoluto sobre la naturaleza de estos cinco cambios, parecería que el objeto elegido podría llevarse a cualquier posición de la fila. Sin embargo, éste no es el caso. Si la posición original del objeto era 2 ó 4 (números pares) terminará en posiciones 1 ó 3 (números impares). Y a la inversa, si la posición inicial era 1 ó 3, terminará en 2 ó 4. Siempre se obtiene este resultado si se hace un número impar de cambios. En el ejemplo presente usted determina cinco cambios, pero lo mismo podría especificar siete o veintinueve o cualquier otro número impar. Si lo prefiere, usted podría indicar un número par de cambios, pero en ese caso el objeto termina en una posición par si sale de una par, o termina en posición impar si sale de una impar. En consecuencia, usted puede permitir que el mismo espectador decida cada vez cuántos cambios intenta hacer, siempre que por supuesto le diga el número. Otra presentación consiste en que el espectador haga los cambios mientras deletrea las letras de su nombre.
Una vez concluidos los cambios, usted debe dirigir al espectador en el retiro de tres objetos, uno por vez, dejando el objeto elegido sobre la mesa. Esto se hace así:
Si usted sabe que la posición final del objeto es 1 ó 3, pídale que saque el objeto en posición 4. Puede hacer esto simplemente con un gesto de su propia mano y decir sin darse vuelta: «Por favor, quite el objeto que está en este extremo». Hecho esto, pídale que cambie una vez más el objeto elegido por uno adyacente. Este cambio final siempre deja el objeto en el centro de los tres que quedaron. Ahora simplemente es cuestión de dirigir el retiro de los dos objetos siguientes como para que sólo quede el elegido.
Por otro lado, si la posición final del objeto es 2 ó 4, pida entonces al espectador que retire el objeto en la posición 1. Ahora pídale que cambie el objeto por uno adyacente. Como antes, esto traerá el objeto elegido al centro de los tres restantes, facilitándole la especificación de los dos retiros siguientes.
Una presentación algo diferente de la primera parte del truco consiste en dejar al espectador que haga tantos cambios como quiera, durante todo el tiempo que desee y que se detenga cuando se le dé la gana. En este caso, él debe decir en voz alta «Cambio» cada vez que hace una movida. Igual que en el truco previo de Hummer usted puede usar sus dedos como mecanismo simple de cuenta para seguir el rastro de sus cambios. Llame 1 a su dedo índice y 2 al dedo mayor. Si la posición original del objeto es impar, ponga su pulgar contra el índice o dedo «impar». Si es par póngalo contra el mayor o dedo «par». Ahora, a medida que se le anuncian los cambios, siga cambiando su pulgar de dedo en dedo. Al concluir, si su pulgar está sobre el dedo «impar», usted sabe que el objeto está en posición 1 ó 3. Si su pulgar está sobre el dedo «par», el objeto está en 2 ó 4.
Mel Stover sugiere realizar el truco con cuatro vasos vacíos y un cubo de hielo. El cubo se vierte de un vaso al vaso adyacente. En esta versión el espectador puede mantenerse en silencio ya que será fácil para usted seguir los cambios por ser claramente audibles.