[1] La razón principal de esta supuesta falta de autoevidencia parece haber sido el hecho de que el axioma de las paralelas formula una afirmación acerca de regiones infinitamente remotas del espacio. Euclides define las líneas paralelas como líneas rectas situadas en un plano que «prolongándose indefinidamente en ambas direcciones» no se encuentran. Por consiguiente, decir que dos líneas son paralelas es sentar la afirmación de que esas dos líneas no se encontraran ni siquiera «en el infinito». Pero los antiguos conocían líneas que, aunque no se cortan en ninguna región finita del plano, se encuentran «en el infinito». De tales líneas se dice que son «asintóticas». Así, una hipérbola es asintótica respecto a sus ejes. A los geómetras antiguos no les resultaba intuitivamente evidente, por tanto, que desde un punto exterior a una línea recta dada solamente pudiera trazarse una línea recta que no se encontrara con aquella ni siquiera en el infinito. <<
[2] La aritmética de los números cardinales no fue axiomatizada hasta 1899 por el matemático italiano Guiseppe Peano. Sus axiomas son cinco. Se formulan con ayuda de tres términos no definidos, el conocimiento del último de los cuales se da por supuesto. Los términos son: ‘número’, ‘cero’ y ‘sucesor inmediato de’. Los axiomas de Peano pueden expresarse del modo siguiente:
El último axioma formula lo que suele denominarse el «principio de inducción matemática». <<
[3] Dicho en un lenguaje más técnico, los términos primitivos quedan «implícitamente» definidos por los axiomas, y todo lo que no se halla comprendido por las definiciones implícitas es irrelevante para la demostración de los teoremas. <<
[4] Debe hacerse notar que las proposiciones metamatemáticas presentadas en el texto no contienen como partes constitutivas ninguno de los signos y fórmulas matemáticos que aparecen en los ejemplos. A primera vista esta afirmación parece palpablemente falsa, ya que son claramente visibles los signos y las fórmulas. Pero, si se analizan las proposiciones con espíritu analítico, veremos que lo dicho es cierto. Las proposiciones metamatemáticas contienen los nombres de ciertas expresiones aritméticas, pero no las expresiones aritméticas mismas. La distinción es sutil, pero válida e importante. Proviene de la circunstancia de que las reglas de la gramática exigen que ninguna oración contenga literalmente el objeto a que pueda referirse la misma, sino solamente los nombres de tales objetos. Evidentemente, cuando hablamos de una ciudad no introducimos la ciudad misma en una oración, sino solamente el nombre de la ciudad; y, análogamente, si queremos decir algo acerca de una palabra (u otro signo lingüístico) no es la palabra misma (o el signo) lo que puede aparecer en la oración, sino solamente el nombre de la palabra (o signo). De acuerdo con una convención establecida, construimos un nombre para una expresión lingüística colocándola entre comillas. Nuestro texto se adhiere a esta convención. Es correcto escribir:
Chicago es una ciudad populosa.
Pero es incorrecto escribir:
Chicago es trisílaba.
Para expresar lo que se quiere decir con esta oración, se debe escribir:
‘Chicago’ es trisílaba.
Igualmente, es incorrecto escribir:
x = 5 es una ecuación.
En vez de ello, debemos formular nuestra idea escribiendo:
‘x = 5’ es una ecuación. <<
[5] Hilbert no dio una explicación precisa de qué procedimientos metamatemáticos deben considerarse finitistas. En la versión original de su programa, los requisitos para una prueba absoluta de congruencia eran más estrictos que en las posteriores exposiciones del programa llevadas a cabo por los miembros de su escuela. <<
[6] Es muy posible que le interese al lector disponer de una explicación más completa que la suministrada en el texto en torno a los teoremas lógicos y reglas de deducción tácitamente empleados incluso en demostraciones matemáticas elementales. Analizaremos primeramente el razonamiento que da lugar a la línea 6 del teorema de Euclides a partir de las líneas 3, 4 y 5.
Designamos como «variables proposicionales» a las letras ‘p’, ‘q’ y ‘r’ porque pueden ser sustituidas por las proposiciones o sentencias. Asimismo, para economizar espacio, escribimos las proposiciones condicionales del tipo de ‘si p entonces q’ como ‘p → q’; y denominamos a la expresión situada a la izquierda del signo con forma → el «antecedente» y a la expresión situada a la derecha el «consecuente». Análogamente escribimos ‘p ∨ q’ como abreviatura de la forma alternativa ‘o p o q’.
Existe un teorema de la lógica elemental que dice:
(p → r) → [(q → r) → ((p ∨ q) → r)]
Puede demostrarse que este teorema formula una verdad necesaria. El lector advertirá que esta fórmula declara más brevemente lo mismo que la siguiente proposición, mucho más larga:
Si (si p entonces r), entonces [si (si q entonces r) entonces (si o p o q) entonces r)]
Tal como se ha indicado en el texto, existe en la lógica una regla de deducción llamada la regla de sustitución de variables proposicionales. De conformidad con esta regla, una proposición S2, procede lógicamente de una proposición S1, que contiene variables proposicionales, si la primera se obtiene a partir de la segunda sustituyendo uniformemente las variables por proposiciones. Si aplicamos esta regla al teorema que acabamos de mencionar, sustituyendo ‘y es primo’ en lugar de ‘p’, ‘y es compuesto’ en lugar de ‘q’ e ‘y no es el mayor número primo’ en lugar de ‘r’, obtenemos lo siguiente:
(y es primo → y no es el mayor número primo) → [(y es compuesto → x no es el mayor número primo) → ((y es primo ∨ y es compuesto) → y no es el mayor número primo)]
El lector se daría cuenta en seguida de que la proposición condicional incluida dentro del primer par de paréntesis (presente en la primera línea de este ejemplo del teorema) se limita a repetir la línea 3 de la prueba de Euclides. Igualmente, la proposición condicional incluida dentro del primer par de paréntesis comprendidos entre los corchetes (segunda línea del ejemplo del teorema) repite la línea 4 de la prueba. También la proposición alternativa que está dentro de los corchetes repite la línea 5 de la prueba.
Utilizamos ahora otra regla de deducción, conocida como regla de separación (o modus ponens). Esta regla nos permite deducir una proposición S2 a partir de otras dos proposiciones, una de las cuales es S1 y la otra S1 → S2. Aplicamos tres veces esta regla: primero, utilizando la línea 3 de la prueba de Euclides y el ejemplo anterior del teorema lógico; después, el resultado obtenido mediante esta aplicación y la línea 4 de la demostración; y, finalmente, este último resultado de la aplicación y la línea 5 de la demostración. El resultado es la línea 6 de la demostración.
La derivación de la línea 6 a partir de las líneas 3, 4 y 5 implica, por tanto, el uso tácito de dos reglas de deducción y de un teorema de la lógica. El teorema y las reglas pertenecen a la parte elemental de la teoría lógica: el cálculo proposicional. Éste versa sobre las relaciones lógicas existentes entre proposiciones formadas de otras proposiciones mediante la ayuda de enlaces proposicionales, ejemplo de los cuales son ‘→’ y ‘∨’. Otro enlace de este tipo es la conjunción ‘y’, que se representa por ∧; la proposición copulativa ‘p y q’ se escribe, pues, ‘p ∧ q’. El signo ‘¬’ representa la partícula negativa ‘no’; así, ‘no p’ se escribe ‘¬p’.
Examinemos la transición que en la demostración de Euclides se verifica de la línea 6 a la 7. Este paso no puede ser analizado con la sola ayuda del cálculo proposicional. Se necesita una regla de deducción que pertenece a una parte más avanzada de la teoría lógica, la que tiene en cuenta la complejidad interna de las proposiciones que contienen expresiones tales como ‘todo’, ‘cada uno’, ‘alguno’ y sus sinónimos. Reciben tradicionalmente el nombre de cuantificadores, y la rama de la teoría lógica que estudia la función que realizan es la teoría de la cuantificación.
Como preliminar al análisis de la transición que nos ocupa es necesario explicar, siquiera sea sumariamente, la notación empleada en este sector más avanzado de la lógica. Además de las variables proposicionales, en lugar de las cuales pueden ser colocadas las proposiciones, debemos considerar la categoría de las «variables individuales», tales como ‘x’, ‘y’, ‘z’, etc., en lugar de las cuales pueden ser colocados los nombres de los individuos. Utilizando estas variables, la proposición universal ‘todos los números primos mayores de 2 son impares’ puede ser traducida como ‘para todo x, si x es un número primo mayor de 2, entonces x es impar’. La expresión ‘para todo x’ recibe el nombre de cuantificador universal y en la acostumbrada notación lógica se representa abreviadamente con el signo ‘(x)’. Dicha proposición universal puede, por consiguiente, escribirse:
(x)(x es un número primo mayor de 2 → x es impar)
Por otra parte, la proposición «particular» (o «existencial») ‘algunos números enteros son compuestos’ puede ser traducida por ‘existe por lo menos un x tal que x es un número entero y x es compuesto’. La expresión ‘existe por lo menos un x’ recibe el nombre de cuantificador existencial y suele representarse abreviadamente por la notación ‘(∃x)’. La proposición existencial mencionada puede, pues, transcribirse:
(∃x)(x es un número entero ∧ x es compuesto)
Debe hacerse notar que muchas proposiciones utilizan implícitamente más de un cuantificador, de modo que al mostrarse su verdadera estructura tienen que aparecer varios cuantificadores. Antes de ilustrar este punto adoptemos ciertas abreviaturas, para las que suelen denominarse expresiones predicadas o, más sencillamente, predicados. Emplearemos ‘Pr(x)’ para designar ‘x es un número primo’, y ‘Gr(x, z)’ para designar ‘x es mayor que z’. Consideremos la proposición: ‘x es el mayor número primo’; su significado puede ser hecho más explícito por medio de la frase siguiente: ‘x es un número primo y para todo z que es un número primo pero diferente de x, x es mayor que z’. Recurriendo a nuestras diversas abreviaturas, la proposición ‘x es el mayor número primo’ puede escribirse:
Pr(x) ∧ (z)[(Pr(z) ∧ ¬(x = z)) → Gr(x, z)]
Literalmente, esto dice: ‘x es un número primo, y para todo z, si z es un número primo y z no es igual a x, entonces x es mayor que z’. En esta secuencia simbólica advertimos una versión formal y laboriosamente explícita de la línea 1 de la demostración de Euclides.
Consideremos ahora la cuestión de cómo expresar en nuestra notación la proposición ‘x no es el mayor número primo’ que aparece en la línea 6 de la demostración. Puede transcribirse así:
Pr(x) ∧ (∃z)[Pr(z) ∧ Gr(z, x)]
Literalmente, dice: ‘x es un número primo y existe por lo menos un z tal que z es un número primo y z es mayor que x’.
Finalmente, la conclusión de la demostración de Euclides, línea 7, que afirma que no existe ningún número primo que sea el mayor de todos, se transcribe simbólicamente por
(x)[Pr(x) → (∃z)(Pr(z) ∧ Gr(z, x))]
que dice: ‘para todo x, si x es un número primo, existe por lo menos un z tal que z es un número primo y z es mayor que x’. El lector observara que la conclusión de Euclides implica implícitamente el uso de más de un cuantificador.
Y estamos ya preparados para examinar el paso de la línea 6 de Euclides a la 7. Existe un teorema de la lógica que dice:
(p ∧ q) → (p → q)
o, una vez traducido, ‘si a la vez p y q, entonces (si p entonces q)’. Utilizando la regla de sustitución y sustituyendo ‘p’ por ‘Pr(x)’ y ‘q’ por ‘(∃z)[Pr(z) ∧ Gr(z, x)]’, obtenemos:
(Pr(x) ∧ (∃z)[Pr(z) ∧ Gr(z, x)]) → (Pr(x) → (∃z)[Pr(z) ∧ Gr(z, x)])
El antecedente (primera línea) de este ejemplo del teorema se limita a repetir la línea 6 de la demostración de Euclides; si aplicamos la regla de separación obtenemos:
(Pr(x) → (∃z)[Pr(z) ∧ Gr(z, x)])
Conforme a la regla de deducción de la teoría lógica de la cuantificación, una proposición S2 que tenga la forma ‘(x)( …x… )’ puede siempre deducirse de una proposición S1 que tenga la forma ‘( …x… )’. En otras palabras: la proposición que tenga como prefijo el cuantificador ‘(x)’ puede ser derivada de la proposición que no contenga ese prefijo pero que sea semejante a ella en otros aspectos. Aplicando esta regla a la última proposición mostrada, tenemos la línea 7 de la demostración de Euclides.
La lección que se extrae de todo esto es que la demostración del teorema de Euclides implica tácitamente el uso no sólo de teoremas y reglas de deducción que pertenecen al cálculo proposicional, sino también de una regla de deducción de la teoría de la cuantificación. <<
[7] Así, por ejemplo, de los principios implicados en la deducción: 5 es mayor que 3; por consiguiente, el cuadrado de 5 es mayor que el cuadrado de 3. <<
[8] De donde se sigue inmediatamente que los axiomas deben ser contados entre los teoremas. <<
[9] Donde no haya posibilidad de confusión puede prescindirse de los signos de puntuación (esto es, de los paréntesis). Así, en vez de escribir ‘¬(p)’ es suficiente escribir ‘¬p’, y en vez de escribir ‘(p → q)’, simplemente ‘p → q’. <<
[10] Supongamos, por otra parte, que se ha establecido ya la fórmula ‘(p → q) → (¬q → ¬p)’ y que decidimos sustituir la variable ‘p’ por ‘r’ y la variable ‘q’ por ‘p ∨ r’. Mediante esta sustitución no podemos obtener la fórmula ‘(r → (p ∨ r)) → (¬q → ¬r)’, porque no hemos realizado la misma sustitución a cada presencia de la variable ‘q’. La sustitución correcta es ‘(r → (p ∨ r)) → (¬(p ∨ r) → ¬r)’. <<
[11] Sustituyendo ‘p’ por S obtenemos en primer lugar S → (¬S → q). A partir de aquí, juntamente con S, que se supone es demostrable, obtenemos por la regla de separación ¬S → q. Finalmente, puesto que se supone que también ¬S es demostrable, y utilizando una vez más la regla de separación, obtenemos q. <<
[12] Cabe que el lector minucioso presente objeciones en este punto. Sus reservas pueden ser algo parecido a lo siguiente. La propiedad de ser una tautología ha sido definida en ideas de verdad y falsedad. Sin embargo, estas ideas implican evidentemente una referencia a algo exterior al cálculo formal. Por consiguiente, el procedimiento mencionado en el texto ofrece en realidad una interpretación del cálculo, suministrando un modelo para el sistema. Siendo esto así, los autores no han cumplido lo que habían prometido, a saber: definir una propiedad de las fórmulas atendiendo a las características estrictamente estructurales de las fórmulas mismas. Parece que, después de todo, no se ha logrado salvar la dificultad apuntada en el capítulo segundo del texto de que las pruebas de consistencia que se basan en modelos y discurren desde la verdad de los axiomas hasta su consistencia no hacen sino desplazar la localización del problema. ¿Por qué, entonces, llamar a la prueba «absoluta» en vez de relativa?
La objeción está justificada si va dirigida contra la exposición seguida en el texto. Pero hemos adoptado esta forma para no abrumar al lector poco acostumbrado a una presentación sumamente abstracta que descansa en una prueba intuitivamente incomprensible. Como puede haber lectores más arriesgados que deseen enfrentarse con las cosas tal cual son para ver una definición sin adornos que no se halle sujeta a las críticas expuestas, la presentaremos.
Recuérdese que una fórmula del cálculo es o una de las letras utilizadas como variables proposicionales (a las de este tipo las denominaremos fórmulas elementales), o una combinación de estas letras, de los signos empleados como enlaces proposicionales y de los paréntesis. Convenimos en colocar cada fórmula elemental en una de dos clases, mutuamente excluyentes y exhaustivas, K1 y K2. Las fórmulas que no son elementales se colocan en estas clases siguiendo las siguientes convenciones:
Definimos ahora la propiedad de ser tautológica: Una fórmula es una tautología si, y solamente si, encaja en la clase K1 independientemente de cuál de las dos clases sea aquella en la que estén situados sus constituyentes elementales. Es evidente que la propiedad de ser una tautología ha sido definida ahora sin utilizar ningún modelo de interpretación del sistema. Podemos averiguar si una fórmula es o no una tautología comprobando, simplemente, su estructura conforme a las convenciones indicadas.
Un examen de este tipo hace ver que cada uno de los cuatro axiomas es una tautología. Es un procedimiento conveniente el de construir una tabla que contenga todas las formas posibles en que los constituyentes elementales de una fórmula dada pueden ser colocados en las dos clases. Valiéndonos de esta lista, podemos determinar, para cada posibilidad, a qué clase pertenecen las fórmulas componentes no elementales de la fórmula dada y a que clase pertenece la fórmula completa. Tomemos el primer axioma. Su tabla consta de tres columnas, cada una de las cuales se halla encabezada por una de las fórmulas componentes elementales o no elementales del axioma, así como por el axioma mismo. Debajo de cada cabecera se indica la clase a que pertenece el concepto de que se trate para cada una de las posibles asignaciones de los constituyentes elementales a las dos clases. La tabla reviste la forma siguiente:
| p | p ∨ p | (p ∨ p) → p |
| K1 | K1 | K1 |
| K2 | K2 | K1 |
La primera columna menciona las formas posibles de clasificar el único constituyente elemental del axioma. La segunda columna asigna el indicado componente no elemental a una clase sobre la base de la convención (1). La última columna asigna el axioma mismo a una clase sobre la base de la convención (2). La columna final muestra que el axioma encaja en la clase K1; prescindiendo de la clase en que va situado su único constituyente elemental. El axioma, por tanto, es una tautología.
Para el segundo axioma, la tabla es:
| p | q | (p ∨ q) | p → (p ∨ q) |
| K1 | K1 | K1 | K1 |
| K1 | K2 | K1 | K1 |
| K2 | K1 | K1 | K1 |
| K2 | K2 | K2 | K1 |
Las dos primeras columnas contienen las cuatro formas posibles de clasificar los dos constituyentes elementales del axioma. La tercera columna asigna el componente no elemental a una clase sobre la base de la convención (1). La última columna hace lo mismo para el axioma sobre la base de la convención (2). La columna final muestra también que el axioma encaja en la clase K1 para cada una de las cuatro formas posibles en que pueden ser clasificados los constituyentes elementales. El axioma, por tanto, es una tautología. De manera análoga puede demostrarse que los dos axiomas restantes son también tautologías.
Vamos a demostrar también que la propiedad de ser una tautología es hereditaria bajo la regla de separación. (Dejaremos al lector la tarea de demostrar que es hereditaria bajo la regla de sustitución.) Supongamos que son tautologías dos fórmulas cualesquiera S1 y S1 → S2; debemos demostrar que en tal caso S2 es una tautología. Supongamos que S2 no fuese una tautología. Entonces, por una clasificación al menos de sus constituyentes elementales, S2 encajara en K2. Pero, por hipótesis, S1 es una tautología, de modo que encajara en K1 para todas las clasificaciones de sus constituyentes elementales, y, en particular, para la clasificación que exige la colocación de S2 en K2. Consiguientemente, para esta última clasificación, S1 → S2 debe encajar en K2 debido a la segunda convención. Esto contradice, sin embargo, la hipótesis de que S1 → S2 es una tautología. En consecuencia, S2 tiene que ser una tautología, so pena de permitir esta contradicción. La propiedad de ser una tautología se ve así transferida por la regla de separación desde las premisas hasta la conclusión derivable de ellas por esta regla.
Un comentario final a la definición de tautología dada en el texto. Las dos clases K1 y K2 utilizadas en la presente explicación pueden ser construidas como las clases de las proposiciones verdaderas y falsas, respectivamente. Pero la explicación no depende en manera alguna, como acabamos de ver, de una tal interpretación, si bien se comprende mucho más fácilmente la exposición cuando se entiende de esa manera a las clases. <<
[13] El lector puede encontrar de utilidad la siguiente recapitulación del camino seguido hasta aquí:
[14] Euclides demostró una notable perspicacia al tratar su famoso axioma de las paralelas como una hipótesis lógicamente independiente de sus demás axiomas. Porque, como se probó posteriormente, este axioma no puede ser derivado de las otras hipótesis, de modo que sin él sería incompleto el grupo de axiomas. <<
[15] Como veremos, tales verdades pueden ser demostradas mediante alguna forma de razonamiento metamatemático acerca de un sistema aritmético. Pero este procedimiento no se ajusta al requisito de que el cálculo debe ser, por así decirlo, autosuficiente y de que las verdades de que se trata deben ser mostradas como las consecuencias formales de los axiomas especificados dentro del sistema. Existe, pues, una limitación intrínseca en el método axiomático considerado como un medio de sistematizar todo el conjunto de la aritmética. <<
[16] Es lo mismo que ocurriría si apareciese la palabra ‘corta’ en una lista de palabras y caracterizáramos cada palabra de la lista con los rótulos descriptivos ‘corta’ o ‘larga’. La palabra ‘corta’ ostentaría entonces el rútulo ‘corta’. <<
[17] Utilizó una adaptación del sistema desarrollado en Principia Mathematica. Pero cualquier cálculo dentro del que pudiera construirse el sistema de los números cardinales habría servido a su finalidad. <<
[18] Hay muchas formas diferentes de asignar números Gödel, y es indiferente para el nudo de la argumentación cuál de ellas se adopte. Damos un ejemplo concreto de cómo pueden asignarse los números para ayudar al lector a seguir la exposición. El método de numeración utilizado en el texto fue empleado por Gödel en su estudio de 1931. <<
[19] El número de signos constantes depende de cómo se construya el cálculo formal. Gödel utilizó en su estudio solamente siete signos constantes. El texto utiliza diez para evitar ciertas complejidades en la exposición. <<
[20] Se pueden presentar en el cálculo signos que no aparezcan en el vocabulario fundamental; estos son introducidos definiéndolos con ayuda de los signos del vocabulario. Por ejemplo, el signo ‘∧’, el enlace proposicional utilizado como abreviatura de ‘y’, puede ser definido en el contexto del modo siguiente: ‘p ∧ q’ equivale a ‘¬(¬p ∨ ¬q)’ ¿Qué número Gödel se asigna a un signo definido? La respuesta es evidente si observamos que las expresiones que contienen signos definidos pueden ser eliminadas a favor de sus equivalentes definidores; y está claro que un número Gödel puede ser determinado para la expresión transformada. Por consiguiente, el número Gödel de la fórmula ‘p ∧ q’ es el número Gödel de la fórmula ‘¬(¬p ∨ ¬q)’. Análogamente, los diversos numerales pueden ser introducidos por definición del modo siguiente: ‘1’ abreviatura de ‘s0’, ‘2’ abreviatura de ‘ss0’, ‘3’ abreviatura de ‘sss0’, y así sucesivamente. Para obtener el número Gödel de la fórmula ‘¬(2 = 3)’, eliminamos los signos definidos, obteniendo así la fórmula ‘¬(ss0 = sss0)’, y obtenemos su número Gödel siguiendo las reglas expresadas en el texto. <<
[21] Recordará el lector que hemos definido una prueba como una sucesión finita de fórmulas, cada una de las cuales o es un axioma o puede ser derivada de las fórmulas anteriores de la sucesión con ayuda de las reglas de transformación. Con esta definición, la sucesión antes indicada no es una prueba, ya que la primera fórmula no es un axioma ni se demuestra su derivación de los axiomas: la sucesión es solamente un fragmento de una prueba. Llevaría demasiado tiempo exponer un ejemplo completo de prueba, y para los fines ilustrativos que se pretenden es suficiente la sucesión expresada. <<
[22] No todo número entero es un número Gödel. Consideremos, por ejemplo, el número 100; 100 es mayor que 10, y, por consiguiente, no puede ser el número Gödel de un signo constante elemental; y puesto que no es un número primo mayor de 10 ni el cuadrado ni el cubo de un número primo que reúna esa circunstancia, no puede ser el número Gödel de una variable. Al descomponer 100 en sus factores primos, encontramos que es igual a 22 · 52; y el número primo 3 no aparece como factor de la descomposición, sino que queda omitido. De acuerdo con las reglas establecidas, sin embargo, el número Gödel de una fórmula (o de una sucesión de fórmulas) debe ser el producto de varios números primos sucesivos, elevado cada uno de ellos a alguna potencia. El número 100 no satisface esta condición. Es decir, que 100 no puede ser asignado a signos constantes, variables o fórmulas; por consiguiente, no es un número Gödel. <<
[23] Este teorema es conocido como el teorema fundamental de la aritmética. Dice que si un número entero es compuesto (o sea, que no es primo), tiene una sola descomposición en factores primos. <<
[24] El lector debe tener presente con toda claridad que, aunque ‘Dem(x, z)’ representa la proposición metamatemática, la fórmula misma pertenece al cálculo aritmético. La fórmula podría ser escrita con una notación más habitual como ‘f(x, z) = 0’, donde la letra ‘f’ denota una compleja serie de operaciones aritméticas realizadas con números. Pero esta notación más corriente no sugiere inmediatamente la interpretación metamatemática de la fórmula. <<
[25] Esta función es sumamente compleja. Su complejidad resulta evidente si tratamos de formularla con más detalle. Intentémoslo, sin llevarlo a sus últimos extremos. En la página 37 se demostró que m, el número Gödel de ‘(∃x)(x = sy)’, es:
28 · 34 · 511 · 79 · 118 · 1311 · 175 · 197 · 2313 · 299
Para hallar el número Gödel de ‘(∃x)(x = sm)’ (la fórmula obtenida sustituyendo en la anterior la variable ‘y’ por el numeral de m) procedemos del modo siguiente: Esta fórmula contiene el numeral ‘m’, que es un signo definido, y, de conformidad con el contenido de una nota anterior, m debe ser reemplazado por su equivalente definidor. Una vez hecho esto, obtenemos la fórmula:
(∃x)(x = ssssss…s0)
donde la letra ‘s’ se da m + 1 veces. Esta fórmula contiene solamente los signos elementales pertenecientes al vocabulario elemental, con lo que puede calcularse su número Gödel. Para ello, obtenemos primeramente la serie de números Gödel asociados con los signos elementales de la fórmula:
8, 4, 11, 9, 8, 11, 5, 7, 7, 7,…, 7, 6, 9
en la que el número 7 aparece m + 1 veces. Tomamos luego el producto de los primeros m + 10 números primos por orden de magnitud, elevado cada uno de ellos a una potencia igual al número Gödel del correspondiente signo elemental. Llamemos r a este número, con lo que
r = 28 · 34 · 511 · 79 · 118 · 1311 · 175 · 197 · 2313 · 299 · 317 · … · p9m + 10
donde pm + 10 es el número primo que hace el (m + 10)-ésimo en el orden de magnitud.
Comparemos ahora los dos números Gödel m y r; m contiene un factor primo elevado a la potencia 13; r contiene todos los factores primos de m y otros muchos más, pero ninguno de ellos está elevado a la potencia 13. Del número m puede así obtenerse el número r, reemplazando al factor primo de m que está elevado a la potencia 13 con otros números primos elevados a potencias distintas de 13. No es posible manifestar exactamente y con todo detalle como se relaciona r con m sin introducir un aparato notativo adicional considerablemente complejo; se halla expresado en el trabajo original de Gödel. Pero se ha dicho lo suficiente para indicar que el número r es una función aritmética definida de m y 13. <<
[26] Cabe la posibilidad de que se le ocurran al lector varias cuestiones que es necesario contestar. Puede preguntarse por qué, en la caracterización metamatemática recién mencionada, decimos que es «el numeral de y» el que sustituye a cierta variable, en vez de «el número y». La contestación depende de la distinción, ya examinada, entre matemática y metamatemática, y exige una breve aclaración de la diferencia entre números y numerales (o cifras). Un numeral es un signo, una expresión lingüística, algo que se puede escribir, borrar, etc. Un número, en cambio, es algo que viene nombrado o designado por un numeral y que no puede, literalmente, ser escrito, borrado, copiado, etc. Así, decimos que 10 es el número de dedos que tenemos en las manos, y, al hacer esta declaración, estamos atribuyendo una cierta «propiedad» a la clase de nuestros dedos; pero sería evidentemente absurdo afirmar que esta propiedad es un numeral. Asimismo, el número 10 viene designado por el numeral arábigo ‘10’, al igual que por la letra romana ‘x’; estas designaciones son distintas aunque designan al mismo número. Es decir, que cuando sustituimos una variable numérica (que es una letra o un signo), estamos poniendo un signo en lugar de otro signo. No podemos sustituir literalmente un signo por un número, porque un número es una propiedad de las clases (y a veces se dice que es un concepto), no algo que podamos poner sobre el papel. De donde se deduce que al sustituir una variable numérica sólo podemos hacerlo con un numeral (o alguna otra expresión numérica, tal como ‘s0’ o ‘7 + 5’) y no con un número. Esto explica por qué en la caracterización metamatemática mencionada declaramos que sustituimos la variable por el numeral de (el número) y, en vez de por el propio número y.
Quizá se pregunte el lector que número se designa por ‘sust(y, 13, y)’ si da la casualidad que la fórmula cuyo número Gödel es y no contiene la variable de número Gödel 13 —esto es, si la fórmula no contiene a la variable ‘y’—. Así, sust(243 000 000, 13, 243 000 000) es el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel 243 000 000, sustituyendo la variable ‘y’ por el numeral ‘243 000 000’. Pero si el lector consulta la tabla de la página 38, hallara que 243 000 000 es el número Gödel de la fórmula ‘0 = 0’, que no contiene a la variable ‘y’. ¿Cuál es entonces la fórmula que se obtiene de ‘0 = 0’ sustituyendo la variable ‘y’ por el numeral del número 243 000 000? La respuesta, bien sencilla, es que, puesto que ‘0 = 0’ no contiene a esta variable, no puede hacerse ninguna sustitución, o, lo que es lo mismo, que la fórmula obtenida de ‘0 = 0’ es esta misma fórmula. En consecuencia, el número designado por ‘sust(243 000 000, 13, 243 000 000)’ es 243 000 000.
Puede también que el lector se sienta asaltado por la duda de si ‘sust(y, 13, y)’ es una fórmula dentro del sistema aritmético en el sentido que son fórmulas, por ejemplo, ‘(∃x)(x = sy)’, ‘0 = 0’ y ‘Dem(x, z)’. La respuesta es negativa por la razón siguiente. La expresión ‘0 = 0’ recibe la denominación de fórmula porque afirma una relación entre dos números y es, por tanto, susceptible de que se le atribuya significativamente la cualidad de verdad o falsedad. Análogamente, cuando las variables de ‘Dem(x, z)’ son sustituidas por numerales definidos, esta expresión formula una relación entre dos números, con lo que se convierte en una proposición que o es verdadera o es falsa. Lo mismo puede decirse para ‘(∃x)(x = sy)’. Por otra parte, aun cuando se sustituya ‘y’ por un numeral definido en ‘sust(y, 13, y)’, la expresión resultante no afirma nada y no puede, por tanto, ser verdadera ni falsa. Simplemente, denomina o designa un número describiéndolo como una determinada función de otros números. La diferencia entre una fórmula (que es en realidad una proposición acerca de números y, por ende, verdadera o falsa) y una función-nombre (que es un nombre que identifica a un número y, por ende, ni es verdadera ni falsa) quedara más clara si añadimos algunos ejemplos: ‘5 = 3’ es una fórmula que, aunque falsa, declara que los números 5 y 3 son iguales; ‘52 = 42 + 32’es también una fórmula que afirma la existencia de una definida relación entre los números 5, 4 y 3; y, en un sentido más general, ‘y = f(x)’ es una fórmula que afirma la existencia de una determinada relación entre los números no especificados x e y. Por otra parte, ‘2 + 3’ expresa una función de los números 2 y 3 y, por tanto, denomina a un cierto número (de hecho, el número 5); no es una fórmula, ya que sería evidentemente absurdo preguntar si ‘2 + 3’ es verdadero o falso. ‘(7 · 5) + 8’ expresa otra función de los tres números 5, 7 y 8 y designa al número 43. Y, en términos más generales, ‘f(x)’ expresa una función de x e identifica a cierto número cuando se sustituye ‘x’ por un numeral definido y cuando se atribuye un definido significado al signo de función ‘f’. Resumiendo, mientras que ‘Dem(x, z)’ es una fórmula porque tiene la forma de una proposición acerca de números, ‘sust(y, 13, y)’ no es una fórmula porque solo tiene la forma de un nombre para los números. <<
[27] Es de suma importancia advertir que ‘sust(y, 13, y)’, aunque es una expresión de la aritmética formalizada, no es una fórmula, sino más bien una función-nombre para la identificación de un número. El número así identificado, sin embargo, es el número Gödel de una fórmula, de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel y, sustituyendo la variable ‘y’ por el numeral de y. <<
[28] Esta proposición puede ser expresada más extensamente del modo siguiente: ‘La fórmula (cuyo número Gödel es el número de la fórmula) obtenida a partir de la fórmula de número Gödel y, sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de y, no es demostrable.’
Puede que el lector se sienta perplejo ante el hecho de que en la proposición metamatemática ‘La fórmula de número Gödel sust(y, 13, y) no es demostrable’ no aparezca entrecomillada la expresión ‘sust(y, 13, y)’, no obstante haberse afirmado repetidamente en el texto que ‘sust(y, 13, y)’ es una expresión. Es esta una cuestión que depende una vez más de la distinción entre utilizar una expresión para hablar acerca de lo que la expresión designa (en cuyo caso la expresión no va entrecomillada) y hablar acerca de la expresión misma (en cuyo caso debemos utilizar un nombre para la expresión y, de acuerdo con la convención establecida para construir tales nombres, debemos entrecomillar la expresión). Un ejemplo servirá para comprenderlo mejor: ‘7 + 5’ es una expresión que designa a un número; por otra parte, 7 + 5 es un número y no una expresión. Igualmente, ‘sust(243 000 000, 13, 243 000 000)’ es una expresión que designa el número Gödel de una fórmula (véase la tabla de la página 38), pero sust(243 000 000, 13, 243 000 000) es el número Gödel de una fórmula y no es una expresión. <<
[29] Quizá sea conveniente explicar la semejanza, así como la desemejanza, de esta argumentación con la empleada en la paradoja de Richard. La cuestión principal a observar es que la fórmula G no es idéntica a la proposición metamatemática con la que está asociada, sino que solamente la representa (o refleja) dentro del cálculo aritmético. En la paradoja de Richard, el número n es el número asociado con una determinada expresión metamatemática. En la construcción de Gödel, el número n está asociado a una determinada fórmula aritmética perteneciente al cálculo formal, aunque esta fórmula aritmética representa en realidad una proposición metamatemática. (La fórmula representa a esta proposición porque la metamatemática de la aritmética ha sido proyectada en la aritmética.) Al desarrollar la paradoja de Richard se plantea la cuestión de si el número n posee la propiedad metamatemática de ser richardiano. En la construcción de Gödel, la cuestión que surge es la de si el número sust(n, 13, n) posee una determinada propiedad aritmética, la propiedad aritmética expresada por la fórmula ‘(x)¬Dem(x, z)’. En la construcción de Gödel no existe, por tanto, confusión alguna entre proposiciones dentro de la aritmética y proposiciones acerca de la aritmética, como ocurre en la paradoja de Richard. <<
[30] Esto no es lo que demostró realmente Gödel, y la declaración del texto, adaptación de un teorema obtenido en 1936 por J. Barkley Rosser, se emplea aquí a efectos de una mayor sencillez de exposición. Lo que realmente demostró Gödel es que si G es demostrable, entonces es demostrable ¬G (con lo que la aritmética es inconsistente); y si ¬G es demostrable, entonces la aritmética es ω-inconsistente. ¿Qué es la ω-inconsistencia? Sea ‘P’ algún predicado aritmético. Entonces la aritmética sería ω-inconsistente si fuese posible demostrar tanto la fórmula ‘(∃x)P(x)’ (esto es, ‘existe por lo menos un número que tiene la propiedad P’), como igualmente cada una de la serie infinita de fórmulas ‘¬P(0)’, ‘¬P(1)’,‘¬P(2)’, etc. (esto es, ‘0 no tiene la propiedad P’, ‘1 no tiene la propiedad P’, ‘2 no tiene la propiedad P’, y así sucesivamente). Una breve reflexión basta para hacer ver que si el cálculo es inconsistente, entonces es también ω-inconsistente; pero lo contrario no es necesariamente cierto: un sistema puede ser ω-inconsistente sin ser inconsistente. Porque para que un sistema sea inconsistente deben ser demostrables tanto ‘(∃x)P(x)’ como ‘(x)¬P(x)’. Sin embargo, aunque si un sistema es ω-inconsistente son demostrables tanto ‘(∃x)P(x)’ como cada una de la serie infinita de fórmulas ‘¬P(0)’, ‘¬P(1)’, ‘¬P(2)’, etc., la fórmula ‘(x)¬P(x)’ puede, no obstante, no ser demostrable, con lo que el sistema no es inconsistente.
Vamos a esbozar la primera parte de la argumentación de Gödel, cuando afirma que si G es demostrable entonces es demostrable ¬G. Supongamos que la fórmula G fuese demostrable. Tendría en tal caso que haber una sucesión de fórmulas dentro de la aritmética que constituyese una prueba para G. Sea k el número Gödel de esta prueba. En consecuencia, la relación aritmética designada por ‘Dem(x, z)’ debe mantenerse entre k, número Gödel de la prueba, y sust(n, 13, n), número Gödel de G, lo que equivale a decir que ‘Dem(k, sust(n, 13, n))’ tiene que ser una fórmula aritmética verdadera. Sin embargo, puede demostrarse que esta relación aritmética es de un tipo tal que, si dicha relación se da entre un par definido de números, la fórmula que expresa este hecho es demostrable. Por consiguiente, la fórmula ‘Dem(k, sust(n, 13, n))’ es no solo verdadera, sino también formalmente demostrable; es decir, la fórmula es un teorema. Pero, sirviéndonos de las reglas de transformación de la lógica elemental, podemos derivar inmediatamente de este teorema la fórmula (‘¬(x)¬Dem(x, sust(n, 13, n))’. Hemos demostrado, por tanto, que si la fórmula G es demostrable, su negación formal es también demostrable. De donde se sigue que si el sistema formal es consistente, la fórmula G no es demostrable.
Un razonamiento en cierto modo análogo, aunque más complicado, es necesario para demostrar que si ¬G es demostrable, entonces también G es demostrable. Prescindiremos de exponerlo aquí. <<
[31] Quizá le sea útil aquí al lector recordar que, igualmente, la prueba de que es imposible dividir un ángulo en tres partes iguales con regla y compás no significa que un ángulo no pueda dividirse en tres partes iguales por cualquier otro medio. Por el contrario, puede dividirse en tres partes iguales a cualquier ángulo si, por ejemplo, además del empleo de regla y compás, se permite utilizar una distancia fija marcada sobre la regla. <<
[32] La prueba de Gentzen se basa en disponer todas las demostraciones de la aritmética en un orden lineal según su grado de «simplicidad». La disposición resulta tener un módulo que es de un cierto tipo «ordinal transfinito». (La teoría de los números ordinales transfinitos fue creada en el siglo XIX por el matemático alemán Georg Cantor.) La prueba de consistencia se obtiene aplicando a este orden lineal una regla de deducción llamada «el principio de inducción transfinita». El razonamiento de Gentzen no puede ser representado en el formalismo de la aritmética. Además, aunque la mayoría de los estudiosos no discuten la fuerza lógica de la prueba, esta no es finitista en el sentido previsto por las condiciones originales de Hilbert para una prueba absoluta dé consistencia. <<
[33] Las conclusiones de Gödel no excluyen la posibilidad de construir una prueba absoluta y finitista de consistencia para la aritmética. Gödel demostró que ninguna prueba de este tipo puede ser representada dentro de la aritmética. Su argumentación no elimina la posibilidad de pruebas estrictamente finitistas que no puedan ser representadas dentro de la aritmética. Pero nadie parece tener hoy día una clara idea de como habría de ser una prueba finitista que no fuese susceptible de formulación dentro de la aritmética. <<
[34] El realismo platónico sostiene la idea de que las matemáticas no crean ni inventan sus «objetos», sino que los descubren como Colón descubrió América. Ahora bien: si esto es cierto, los objetos deben tener en cierto sentido una «existencia» anterior a su descubrimiento. Conforme a la doctrina platónica, los objetos de estudio matemático no se encuentran en el orden espacio-temporal. Son formas eternas incorpóreas o arquetipos, que moran en un mundo distinto, accesible solamente al intelecto. De acuerdo con este punto de vista, las formas triangulares o circulares de los cuerpos físicos perceptibles por los sentidos no constituyen los objetos verdaderos de las matemáticas. Esas formas son, simplemente, encarnaciones imperfectas de un indivisible triángulo «perfecto», o círculo «perfecto», que es increado, no se halla jamás plenamente manifestado por las cosas materiales y únicamente puede ser captado por la mente exploradora del matemático. Gödel parece sostener un punto de vista semejante cuando dice: «Las clases y los conceptos pueden… ser concebidos como objetos reales…, existentes con independencia de nuestras definiciones y construcciones. Yo creo que la hipótesis de tales objetos es tan legítima como la hipótesis de los cuerpos físicos y que hay las mismas razones para creer en su existencia» (Kurt Gödel, «Russell’s Mathematical Logic», en The Philosophy of Bertrand Russell, ed. Paul A. Schilpp, Evanston y Chicago, 1944, pág. 137). <<