El estudio realizado por Gödel es sumamente complejo. Antes de llegar a los resultados principales es necesario comprender y dominar perfectamente cuarenta y seis definiciones preliminares, juntamente con varios e importantes teoremas preliminares. Nosotros seguiremos un camino mucho más fácil; en él, sin embargo, podrá el lector tener varios atisbos del ascenso y de la estructura final de la cumbre.

Gödel describió un cálculo formalizado dentro del cual pueden expresarse todas las acostumbradas notaciones aritméticas y establecer las relaciones aritméticas ya conocidas^[17]. Las fórmulas del cálculo están construidas con una clase de signos elementales que constituyen el vocabulario fundamental. Los cimientos están formados por un conjunto de fórmulas primitivas (o axiomas), y los teoremas del cálculo son fórmulas que pueden derivarse de los axiomas con ayuda de una serie de reglas de transformación (o reglas de deducción) cuidadosamente especificadas.

Gödel demostró en primer lugar que es posible asignar un único número a cada signo elemental, a cada fórmula (o sucesión de signos) y a cada prueba (o sucesión finita de fórmulas). Este número, que sirve de rótulo distintivo, recibe el nombre de «número Gödel» del signo, fórmula o prueba^[18].

Los signos elementales pertenecientes al vocabulario fundamental son de dos clases: los signos constantes y las variables. Supondremos que hay exactamente diez signos constantes^[19], a los que se asocian, como números Gödel, los números enteros que van del 1 al 10. La mayoría de estos signos son ya conocidos del lector: ‘¬’(que quiere decir ‘no’); ‘∨’ (que quiere decir ‘o’); ‘→’ (que quiere decir ‘si… entonces…’); ‘=’ (que quiere decir ‘igual a’); ‘0’ (el numeral para el número cero); y tres signos de puntuación, el paréntesis de apertura, ‘(’, el paréntesis de cierre ‘)’, y la coma, ‘,’. Se utilizarán además otros dos signos: la letra invertida ‘∃’, que puede leerse como ‘existe’ y que se da en los «cuantificadores existenciales», y la minúscula ‘s’, que se agrega a las expresiones numéricas para designar el inmediato sucesor de un número. Por ejemplo, la fórmula ‘(∃x)(x = s0)’ puede leerse ‘existe un x tal que x es el sucesor inmediato de 0’. La tabla que insertamos a continuación muestra los diez signos constantes, expresa el número Gödel asociado con cada uno de ellos e indica los significados usuales de los signos.

Signos constantes	Número Gödel	Significado
¬	1	no
∨	2	o
→	3	si… entonces…
∃	4	existe un…
=	5	igual
0	6	cero
s	7	sucesor
(	8	signo de puntuación
)	9	signo de puntuación
,	10	signo de puntuación

Además de los signos elementales constantes, aparecen tres clases de variables en el vocabulario fundamental del cálculo: las variables numéricas, ‘x’, ‘y’, ‘z’, etc., con las que se puede sustituir a los numerales y expresiones numéricas; las variables sentenciales, ‘p’, ‘q’, ‘r’, etc., con las que se puede sustituir a las fórmulas (sentencias), y las variables predicativas, ‘P’, ‘Q’, ‘R’, etc., con las que se pueden sustituir los predicados tales como ‘primo’ o ‘mayor que’. A las variables se asignan números Gödel de acuerdo con las siguientes reglas:

Consideremos ahora una fórmula del sistema, por ejemplo, ‘(∃x)(x = sy)’. (Traducida literalmente, dice: ‘Existe un x tal que x es el sucesor inmediato de y’, lo que quiere decir, en realidad, que todo número tiene un sucesor inmediato.) Los números asociados a sus diez signos elementales constitutivos son, respectivamente, 8, 4, 11, 9, 8, 11, 5, 7, 13, 9. A continuación mostramos esto mismo esquemáticamente:

(	∃	x	)	(	x	=	s	y	)
↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓
8	4	11	9	8	11	5	7	13	9

Es deseable, sin embargo, asignar a la fórmula un solo número en vez de un conjunto de números. Esto puede hacerse fácilmente. Convenimos en asociar a la fórmula el único número que es el producto de los diez primeros números primos en orden de magnitud, estando cada uno de ellos elevado a una potencia igual al número Gödel del correspondiente signo elemental. De acuerdo con esto, la fórmula anterior queda asociada con el número

2⁸ · 3⁴ · 5¹¹ · 7⁹ · 11⁸ · 13¹¹ · 17⁵ · 19⁷ · 23¹³ · 29⁹

Llamemos m a este número. De manera similar, se puede asignar a toda sucesión finita de signos elementales y, en particular, a toda fórmula, un único número, el producto de tantos números primos como signos haya (estando elevado cada número primo a una potencia igual al número Gödel del signo correspondiente)^[20].

Consideremos, finalmente, una sucesión de fórmulas tal como puede presentarse en alguna demostración. Así, por ejemplo,

La segunda fórmula, una vez traducida, dice: ‘0 tiene un sucesor inmediato’; es derivable de la primera sustituyendo la variable numérica ‘y’ por el numeral ‘0’^[21]. Ya hemos determinado el número Gödel de la primera fórmula; es m; y supongamos que n es el número Gödel de la segunda fórmula. Igual que antes, es conveniente disponer de un solo número que sirva de rótulo a la sucesión. Convenimos, por tanto, en asociarla con el número que es el producto de los dos primeros números primos en orden de magnitud (esto es, los números primos 2 y 3), estando elevado cada uno de los números primos a una potencia igual al número Gödel de la fórmula correspondiente. Si llamamos k a este número podemos escribir k = 2^m · 3ⁿ. Por este procedimiento de condensación podemos obtener un número para cada serie de fórmulas. En resumen, toda expresión contenida en el sistema, sea un signo elemental, una sucesión de signos o una sucesión de sucesiones, puede llevar asignado un único número Gödel.

Lo que se ha hecho hasta aquí es establecer un método para «aritmetizar» completamente el cálculo formal. El método consiste esencialmente en un conjunto de reglas para establecer una correspondencia biunívoca entre las expresiones del cálculo y una cierta subclase de los números enteros^[22]. Dada una expresión, puede calcularse unívocamente el número Gödel que corresponde a ella. Pero esto es sólo la mitad de la historia. Dado un número, podemos determinar si es un número Gödel, y, si lo es, la expresión que representa puede ser exactamente analizada o «restablecida». Si un número dado es igual o menor que 10, es el número Gödel de un signo constante elemental. El signo puede ser identificado. Si el número es mayor de 10, puede ser descompuesto en sus factores primos de una manera precisa (como sabemos por un famoso teorema de la aritmética)^[23]. Si es un número primo mayor de 10, o la segunda o tercera potencia de un número primo que reúna esa cualidad, es el número Gödel de una variable identificable. Si es el producto de números primos sucesivos, elevados cada uno de ellos a alguna potencia, puede ser el número Gödel o de una fórmula o de una sucesión de fórmulas. En tal caso, puede determinarse exactamente la expresión a que corresponde. Siguiendo este método podemos desmontar cualquier número dado como si fuese una máquina, descubrir cómo está construido y averiguar qué elementos lo integran; y, puesto que cada uno de sus elementos corresponde a un elemento de la expresión que representa, podemos reconstituir la expresión, analizar su estructura, etc. La siguiente tabla muestra como podemos averiguar, en relación a un número determinado, si es un número Gödel y, en caso afirmativo, cuál es la expresión que simboliza.

243000000

64 · 243 · 15625

2⁶ · 3⁵ · 5⁶

6	5	6
↓	↓	↓
0	=	0

0 = 0

La fórmula aritmética ‘cero igual a cero’ tiene el número Gödel 243000000. Leyendo en sentido descendente desde A hasta E, la ilustración muestra como se transforma el número en la expresión que representa; haciéndolo en sentido inverso, como se obtiene el número correspondiente a la fórmula.

El paso siguiente de Gödel es una ingeniosa aplicación de la idea de la representación. Demostró que todas las proposiciones metamatemáticas acerca de las propiedades estructurales de las expresiones contenidas en el cálculo pueden ser adecuadamente reflejadas dentro del cálculo mismo. La idea básica subyacente en su procedimiento es la siguiente: puesto que toda expresión del cálculo está asociada a un número (Gödel), puede construirse una proposición metamatemática acerca de las expresiones y de sus recíprocas relaciones como una proposición acerca de los correspondientes números (Gödel) y de sus recíprocas relaciones aritméticas. De esta manera queda completamente «aritmetizada» la metamatemática. Valga como analogía el siguiente ejemplo: En un supermercado muy concurrido se suele dar a los clientes, en el momento de entrar, unas fichas numeradas, cuyo orden determina el orden en que habrán de ser atendidos los clientes. Observando los números es fácil decir cuántas personas han sido servidas, cuántas están esperando, quién precede a quién y por cuántos clientes, etc. Si, por ejemplo, la señora Smith tiene el número 37 y la señora Brown el número 53, en vez de explicar a la señora Brown que tiene que aguardar su turno después de la señora Smith, basta con indicarle que 37 es menor que 53.

Lo mismo que en el supermercado ocurre en la metamatemática. Cada proposición metamatemática se halla representada por una única fórmula dentro de la aritmética; y las relaciones de dependencia lógica entre las proposiciones metamatemáticas se reflejan plenamente en las relaciones numéricas de dependencia entre sus correspondientes fórmulas aritméticas. Una vez más, la representación facilita una investigación de la estructura. La exploración de las cuestiones metamatemáticas puede ser desarrollada investigando las propiedades aritméticas y las relaciones de ciertos números enteros.

Ilustraremos estas observaciones generales con un ejemplo elemental. Consideremos el primer axioma del cálculo proposicional, que es, además, un axioma del sistema formal sujeto a examen: ‘(p ∨ p) → p’. Su número Gödel es 2⁸ · 3^11² · 5² · 7^11² · 11⁹ · 13³ · 17^11², que designaremos con la letra ‘a’. Consideremos también la fórmula ‘(p ∨ p)’ cuyo número Gödel es 2⁸ · 3^11² · 5² · 7^11² · 11⁹; la designaremos con la letra ‘b’. Enunciamos ahora la proposición metamatemática de que la fórmula ‘p ∨ p’ es una parte inicial del axioma. ¿A que fórmula aritmética del sistema formal corresponde esta proposición? Es evidente que la fórmula más pequeña ‘(p ∨ p)’ puede ser una parte inicial de la fórmula mayor, que es el axioma, si, y solamente si, el número ‘b’, que representa a la primera, es un factor del número ‘a’, que representa a la segunda. Supuesto que la expresión ‘factor de’ esté convencionalmente definida en el sistema aritmético formalizado, la única fórmula aritmética que corresponde a la declaración metamatemática antes enunciada es: ‘b es un factor de a’. Además, si esta fórmula es verdadera, esto es, si ‘b’ es un factor de ‘a’, entonces es cierto que ‘(p ∨ p)’ es una parte inicial de ‘(p ∨ p) → p’.

Fijemos nuestra atención en la proposición metamatemática: «La sucesión de fórmulas con número Gödel x es una prueba de la fórmula con número Gödel z.» Esta declaración está representada (reflejada) por una fórmula definida del cálculo aritmético que expresa una relación estrictamente aritmética entre x y z. (Podemos hacernos cierta idea de la complejidad de esta relación recordando el ejemplo empleado anteriormente, en el cual se asignaba el número Gödel k = 2^m · 3ⁿ a la (fragmento de) prueba cuya conclusión tiene el número Gödel n. Una pequeña reflexión hace ver que existe aquí una relación aritmética definida, aunque en manera alguna sencilla, entre k, el número Gödel de la prueba, y n, el número Gödel de la conclusión). Escribimos esta relación entre x y z con la fórmula ‘Dem(x, z)’, para tener presente la proposición metamatemática a que corresponde (esto es, la proposición metamatemática ‘La sucesión de fórmulas con número Gödel x es una prueba (o demostración) de la fórmula con número Gödel z’)^[24]. Rogamos ahora al lector que observe que una proposición metamatemática que dice que una cierta sucesión de fórmulas constituye una prueba de una fórmula dada es verdadera si, y solamente si, el número Gödel de la pretendida prueba esta con el número Gödel de la conclusión en la relación aritmética aquí designada como ‘Dem’. Por consiguiente, para establecer la verdad o la falsedad de la proposición metamatemática sujeta a examen solo nos interesa la cuestión de si la relación ‘Dem’ se mantiene entre dos números. Inversamente, podemos establecer que la relación aritmética se cumple entre un par de números demostrando que es verdadera la declaración metamatemática reflejada por dicha relación entre dos números. Análogamente, la proposición metamatemática: ‘La sucesión de fórmulas con el número Gödel x no es una prueba para la fórmula con número Gödel z’ se representa en el sistema aritmético formalizado con una fórmula definida. Tal fórmula es la contradictoria formal de ‘Dem(x, z)’, o sea, ‘¬Dem(x, z)’.

Es necesario agregar un poco más de esta notación especial para exponer el punto clave del argumento de Gödel. Comencemos por un ejemplo. La fórmula ‘(∃x)(x = sy)’ tiene como número Gödel m, mientras que el número Gödel de la variable ‘y’ es 13. En dicha fórmula sustitúyase la variable de número Gödel 13 (o sea, ‘y’) por el numeral de m. El resultado es la fórmula ‘(∃x)(x = sm)’, que dice literalmente que existe un número x tal que x es el sucesor inmediato de m. Esta última fórmula tiene también un número Gödel, que puede calcularse muy fácilmente. Pero, en vez de hacer el cálculo, podemos identificar el número mediante una inequívoca caracterización metamatemática: es el número Gödel de la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula de número Gödel m, sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de m. Esta caracterización metamatemática determina unívocamente un número definido, que es una cierta función aritmética de los números m y 13, en la que puede ser expresada la función misma dentro del sistema formalizado^[25]. El número puede, por consiguiente, ser designado dentro del cálculo. Esta designación será escrita como ‘sust(m, 13, m)’ siendo la finalidad de esta forma recordar la caracterización metamatemática que representa, es decir, ‘el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel m, sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de m’. Podemos ahora dejar a un lado el ejemplo y generalizar. El lector se dará cuenta en seguida de que la expresión ‘sust(y, 13, y)’ es la imagen reflejada dentro del cálculo aritmético formalizado de la caracterización metamatemática ‘el número Gödel de la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula de número Gödel y, sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de y’. Se observará también que cuando se sustituye ‘y’ por un numeral definido en ‘sust(y, 13, y)’ —por ejemplo, el numeral de m o el numeral de doscientos cuarenta y tres millones— la expresión resultante designa un número entero definido, que es el número Gödel de una determinada fórmula^[26].

Nos encontramos preparados, por fin, para seguir en líneas generales la argumentación principal de Gödel. Comenzaremos enumerando de forma genérica los pasos fundamentales para que el lector pueda captar una vista panorámica de la secuencia del argumento.

Gödel mostró (i) cómo construir una fórmula aritmética G que represente la declaración metamatemática ‘La fórmula G no es demostrable’. Esta fórmula G dice, así, ostensiblemente de sí misma que no es demostrable. Hasta cierto punto, G está construida de forma análoga a la paradoja de Richard. En esa paradoja la expresión ‘richardiano’ se asocia a cierto número n, y queda construida la oración ‘n es richardiano’. En la argumentación de Gödel, la fórmula G se asocia también a un cierto número h y está construida de modo que corresponda a la declaración ‘la fórmula que tiene el número asociado h no es demostrable’. Pero (ii) Gödel mostró también que G es demostrable si, y solamente si, es demostrable su negación formal ¬G. Este paso de la argumentación es también análogo al paso de la paradoja de Richard en el que se demostró que n es richardiano si, y solamente si, n no es richardiano. De cualquier modo, si una fórmula y su negación son ambas formalmente demostrables, el cálculo aritmético no es consistente. Por consiguiente, si el cálculo es consistente, ni G ni ¬G son formalmente derivables de los axiomas de la aritmética. Por tanto, si la aritmética es consistente, G es una fórmula formalmente indecidible. Gödel demostró luego (iii) que, aunque G no sea formalmente demostrable, es, sin embargo, una fórmula aritmética verdadera. Es verdadera en el sentido de que afirma que todo número entero posee una cierta propiedad aritmética que puede ser exactamente definida y presentada en cualquier número entero que se examine. (iv) Puesto que G es al mismo tiempo verdadera y formalmente indecidible, los axiomas de la aritmética son incompletos. En otras palabras: no podemos deducir todas las verdades aritméticas de los axiomas. Gödel demostró además que la aritmética es esencialmente incompleta: aun cuando se admitiesen nuevos axiomas, de tal modo que la fórmula verdadera G pudiera ser formalmente derivada de la incrementada serie de los mismos, todavía podría construirse otra fórmula verdadera pero formalmente indecidible. (v) Gödel describió después como construir una fórmula aritmética A que represente a la proposición metamatemática ‘la aritmética es consistente’, y demostró que la fórmula ‘A → G’ es formalmente demostrable. Y, finalmente, demostró que la fórmula A no es demostrable. De aquí se desprende que la consistencia de la aritmética no puede ser establecida por un argumento que pueda hallarse representado en el cálculo aritmético formal.

I. Ya ha sido identificada la fórmula ‘Dem(x, z)’. Representa, dentro de la aritmética formalizada, la proposición metamatemática ‘la sucesión de fórmulas con número Gödel x no es una prueba de la fórmula con número Gödel z’. Ahora se introduce el prefijo ‘(x)’ en la fórmula Dem. Este prefijo realiza en el sistema formalizado la misma función que la frase ‘para todo x’. Anteponiendo este prefijo obtenemos una nueva fórmula, ‘(x)¬Dem(x, z)’, que representa, dentro de la aritmética, a la proposición metamatemática ‘para todo x, la sucesión de fórmulas con número Gödel x no es una prueba de la fórmula con número Gödel z’. La nueva fórmula es, por tanto, la paráfrasis formal (estrictamente hablando, es la única representativa), dentro del cálculo, de la proposición metamatemática ‘la fórmula con número Gödel z no es demostrable’, o, por decirlo de otra manera, ‘no puede aducirse ninguna prueba para la fórmula con número Gödel z’.

Lo que Gödel demostró es que un determinado caso especial de esta fórmula no es formalmente demostrable. Para construir este caso especial empecemos con la fórmula señalada como línea (1):

Esta fórmula pertenece al cálculo aritmético, pero representa una proposición metamatemática. La cuestión es: ¿cuál? El lector debe recordar ante todo que la expresión ‘sust(y, 13, y)’ designa un número. Este número es el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel y, sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral^[27] de y. Resulta entonces evidente que la fórmula de la línea (1) representa a la proposición metamatemática ‘la fórmula de número Gödel sust(y, 13, y) no es demostrable’^[28].

Pero, dado que la fórmula de la línea (1) pertenece al cálculo aritmético, tiene un número Gödel que puede ser efectivamente calculado. Supongamos que el número es n. Sustituimos ahora la variable de número Gödel 13 (esto es, la variable ‘y’) de la fórmula de la línea (1) por el numeral de n. Se obtiene así una nueva fórmula, que llamaremos ‘G’ (de Gödel), rotulándola con esa letra:

Ahora bien: esta fórmula se produce dentro del cálculo aritmético y debe, por consiguiente, tener un número Gödel. ¿Cuál es el número? Una breve reflexión nos hace ver que es sust(n, 13, n). Para comprenderlo debemos recordar que sust(n, 13, n) es el número Gödel de la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula de número Gödel n, sustituyendo la variable de número Gödel 13 (o sea, la variable ‘y’) por el numeral de n. Pero la fórmula G ha sido obtenida a partir de la fórmula de número Gödel n (o sea, de la fórmula de la línea (1)), sustituyendo la variable ‘y’ existente en ella por el numeral de n. En consecuencia, el número Gödel de G es, en efecto, sust(n, 13, n).

Pero debemos recordar también que la fórmula G es la imagen reflejada dentro del cálculo aritmético de la proposición metamatemática: ‘La fórmula de número Gödel sust(n, 13, n) no es demostrable’. De donde se sigue que la fórmula aritmética ‘(x)¬Dem(x, sust(n, 13, n))’ representa en el cálculo la proposición metamatemática: ‘La fórmula ‘(x)¬Dem(x, sust(n, 13, n))’ no es demostrable’. En cierto sentido, por tanto, esta fórmula aritmética G puede ser construida como afirmando de sí misma que no es demostrable.

II. Llegamos ahora al paso siguiente: la prueba de que G no es formalmente demostrable. La demostración de Gödel se asemeja al desarrollo de la paradoja de Richard, pero se mantiene libre de su falaz razonamiento^[29]. La argumentación es relativamente sencilla. Se desenvuelve haciendo ver que si la fórmula G fuese demostrable, entonces su contradictoria formal [a saber: la fórmula ‘¬(x)¬Dem(x, sust(n, 13, n))’] también sería demostrable; e, inversamente, que si la contradictoria formal de G fuese demostrable, entonces también la propia G sería demostrable. Tenemos, pues, G es demostrable si, y solo si, ¬G es demostrable^[30]. Pero, como hemos hecho notar anteriormente, si de un conjunto de axiomas pueden ser derivadas tanto una fórmula como su negación formal, esos axiomas no son consistentes. De lo que se deduce que si los axiomas del sistema formalizado de la aritmética son consistentes, ni la fórmula G ni su negación son demostrables. En resumen, si los axiomas son consistentes, G es formalmente indecidible, en el preciso sentido técnico de que ni G ni su contradictoria pueden ser formalmente deducidas de los axiomas.

III. Puede que a primera vista esta conclusión no parezca de capital importancia. ¿Por qué es tan digno de mención, podría preguntarse, que pueda construirse dentro de la aritmética una fórmula que sea indecidible? Queda por revelar algo que ilumina las hondas implicaciones de este resultado. Porque, aunque la fórmula G es indecidible, si los axiomas del sistema son consistentes, puede, no obstante, demostrarse mediante un razonamiento metamatemático que G es verdadera. Es decir, puede demostrarse que G formula una compleja pero definida propiedad numérica que se da necesariamente en todos los números enteros, del mismo modo que la fórmula ‘(x)¬(x + 3 = 2)’ (que, interpretada en la forma habitual dice que ningún número cardinal al que se añada 3 da una suma igual a 2) expresa otra propiedad igualmente necesaria (aunque mucho más sencilla) de todos los números enteros. El razonamiento que da validez a la verdad de la fórmula indecidible G es impecable. Primero, bajo la hipótesis de que la aritmética es consistente se ha demostrado la verdad de la proposición metamatemática ‘La fórmula ‘(x)¬Dem(x, sust(n, 13, n))’ no es demostrable’. Segundo, esta proposición se halla representada dentro de la aritmética por la misma fórmula mencionada en la proposición. Tercero, recordemos que las proposiciones metamatemáticas han sido representadas en el formalismo aritmético de tal modo que las proposiciones metamatemáticas verdaderas correspondan a fórmulas aritméticas verdaderas. (En realidad, el establecimiento de tal correspondencia es la raison d’étre de la representación; al igual que ocurre, por ejemplo, en la geometría analítica, en la que, por virtud de este proceso, las proposiciones geométricas verdaderas corresponden siempre a proposiciones algebraicas verdaderas.) De ahí se desprende que la fórmula G, que corresponde a una proposición metamatemática verdadera, debe ser también verdadera. Ha de hacerse notar, no obstante, que hemos establecido una verdad aritmética, no deduciéndola formalmente de los axiomas de la aritmética, sino por un argumento metamatemático.

IV. Recordamos ahora al lector la noción de la «completitud» introducida en la exposición del cálculo proposicional. Se explicó allí que los axiomas de un sistema deductivo son «completos» si todas las proposiciones verdaderas que pueden expresarse en el sistema son formalmente deducibles de los axiomas. Si no es este el caso, es decir, si no toda proposición expresable en el sistema es deducible, los axiomas son «incompletos». Pero, dado que acabamos de demostrar que G es una fórmula verdadera de la aritmética no deducible formalmente dentro de ella, se deduce que los axiomas de la aritmética son incompletos, sobre la hipótesis, naturalmente, de que sean consistentes. Son, además, esencialmente incompletos; aun cuando fuera introducida G como un nuevo axioma, el conjunto así aumentado sería todavía insuficiente para producir todas las verdades aritméticas. Porque, si los axiomas iniciales fuesen ampliados de la manera indicada, aún podría construirse otra fórmula aritmética verdadera, pero indecidible dentro del sistema ensanchado; tal fórmula podría ser construida limitándose a repetir en el nuevo sistema el procedimiento empleado originariamente para hallar una fórmula verdadera, pero indecidible en el sistema inicial. Esta importante conclusión se mantiene con independencia de las veces que se amplía el sistema inicial. Nos vemos, pues, obligados a admitir una fundamental limitación en la eficacia del método axiomático. En contra de previas suposiciones, el vasto continente de la verdad aritmética no puede ser reducido a un orden sistemático sentando de una vez para siempre un conjunto de axiomas del que pueda derivarse formalmente toda proposición aritmética verdadera.

V. Y llegamos a la coda de la asombrosa sinfonía intelectual de Gödel. Hemos seguido los pasos por los que él llegó a establecer la proposición metamatemática: «Si la aritmética es consistente, es incompleta.» Pero puede demostrarse también que esta proposición condicional, tomada como un todo, está representada por una fórmula demostrable dentro de la aritmética formalizada.

Esta fórmula crucial puede ser fácilmente construida. Como ya hemos explicado en el capítulo quinto, la proposición metamatemática ‘la aritmética es consistente’ es equivalente a la proposición ‘existe por lo menos una fórmula de la aritmética que no es demostrable’. En el cálculo formal se representa a esta con la siguiente fórmula, que denominaremos ‘A’:

Traducida, dice: ‘Existe por lo menos un número y tal que, para todo número x, x no se mantiene en la relación Dem a y’. Interpretada metamatemáticamente, la fórmula afirma: ‘Existe por lo menos una fórmula de la aritmética para la cual ninguna sucesión de fórmulas constituye una prueba’. La fórmula A, por tanto, representa la cláusula antecedente de la proposición metamatemática ‘si la aritmética es consistente, es incompleta’. Por otra parte, la cláusula consiguiente de esta proposición —es decir, ‘(la aritmética) es incompleta’— procede directamente de ‘existe una proposición aritmética verdadera que no es formalmente demostrable en la aritmética’ ; y ésta, como advertirá el lector, se halla representada en el cálculo aritmético por una vieja conocida, la fórmula G. En consecuencia, la proposición metamatemática condicional ‘si la aritmética es consistente, es incompleta’ está representada por la fórmula

que, en aras de la brevedad, simbolizaremos por ‘A → G’. (Puede probarse que esta fórmula es formalmente demostrable, pero prescindiremos de hacerlo en estas páginas.)

Vamos a demostrar ahora que la fórmula A no es demostrable. Supongamos que lo fuese. Entonces, puesto que A → G es demostrable, aplicando la regla de separación sería demostrable la fórmula G. Pero, salvo que el cálculo sea inconsistente, G es formalmente indecidible, esto es, no demostrable. Por consiguiente, si la aritmética es consistente, la fórmula A no es demostrable.

¿Qué significa esto? La fórmula A representa la proposición metamatemática ‘la aritmética es consistente’. Si, por consiguiente, esta proposición pudiera ser demostrada con una argumentación susceptible de ser plasmada en una sucesión de fórmulas, que constituye una prueba en el cálculo aritmético, sería demostrable la propia fórmula A. Pero, como hemos visto, esto es imposible si la aritmética es consistente. Y el gran paso final está ya ante nosotros: debemos concluir que si la aritmética es consistente, su consistencia no puede ser demostrada por ningún razonamiento metamatemático susceptible de ser representado dentro del formalismo de la aritmética.

Es preciso evitar una errónea interpretación de este importante resultado del análisis de Gödel: no excluye una prueba metamatemática de la consistencia de la aritmética. Lo que excluye es la posibilidad de que una prueba de consistencia sea reflejada sobre las deducciones formales de la aritmética^[31]. De hecho, se han construido pruebas metamatemáticas de la consistencia de la aritmética, en particular por Gerhard Gentzen, miembro de la escuela de Hilbert, en 1936, y por otros estudiosos posteriores^[32]. Estas pruebas poseen una gran importancia lógica, entre otras razones porque proponen nuevas formas de construcciones metamatemáticas y porque, en consecuencia, iluminan la cuestión de cómo es preciso ampliar la clase de reglas de deducción para demostrar la consistencia de la aritmética. Pero estas pruebas no pueden ser representadas dentro del cálculo aritmético; y, como no son finitistas, no alcanzan los anunciados objetivos del primitivo programa de Hilbert.

VII