Debemos abordar ahora la segunda tarea mencionada al principio del capítulo anterior y familiarizarnos con un importante aunque fácilmente comprensible ejemplo de una prueba absoluta de consistencia. Una vez conocida la prueba, el lector se encontraría en condiciones de apreciar la significación del trabajo realizado por Gödel en 1931.

Pondremos de relieve cómo puede ser formalizada una pequeña porción de los Principia: la lógica elemental de las proposiciones. Esto supone la conversión del sistema fragmentario en un cálculo de signos no interpretados. Desarrollaremos entonces una prueba absoluta de consistencia.

La formalización se lleva a cabo en cuatro fases. Primero se prepara un catálogo completo de los signos que se han de usar en el cálculo. Son su vocabulario. En segundo lugar se establecen las «reglas de formación». Éstas declaran qué combinaciones de los signos del vocabulario pueden ser aceptadas como «fórmulas» (en realidad, como proposiciones). Las reglas pueden ser consideradas como constitutivas de la gramática del sistema. En tercer lugar se expresan las «reglas de transformación», que describen la estructura precisa de las fórmulas de las cuales pueden derivarse otras fórmulas de estructura determinada. Estas reglas son, en efecto, las reglas de deducción. Finalmente se seleccionan ciertas fórmulas como axiomas (o «fórmulas primitivas»). Éstas sirven de fundamento a todo el sistema. Emplearemos la expresión «teorema del sistema» para designar cualquier fórmula que pueda ser derivada de los axiomas aplicando sucesivamente las reglas de transformación. Por «prueba» (o «demostración») formal designaremos una serie finita de fórmulas, cada una de las cuales o es un axioma o puede ser derivada de otras fórmulas anteriores de la serie mediante las reglas de transformación^[8].

Para la lógica de las proposiciones (frecuentemente llamada el cálculo sentencial), el vocabulario (o lista de «signos elementales») es extremadamente sencillo. Se compone de variables y de signos constantes. Las variables pueden ser sustituidas por sentencias y reciben por ello el nombre de «variables sentenciales». Son las letras

Los signos constantes son o «enlaces sentenciales» o signos de puntuación. Los enlaces sentenciales son:

Los signos de puntuación son los paréntesis de apertura y de cierre, ‘(’ y ‘)’, respectivamente.

Las reglas de formación están diseñadas de modo que las combinaciones de signos elementales, que normalmente tendrían forma de proposiciones, se llamen fórmulas. Igualmente, cada variable sentencial vale como una fórmula. Además, si la letra S representa una fórmula, su negación formal, es decir, ¬(S), es también una fórmula. Análogamente, si S₁, S₂ son fórmulas, también lo son (S₁ ∧ S₂), (S₁ → S₂) y (S₁ ∨ S₂). Cada una de las siguientes expresiones es una fórmula: ‘p’, ‘¬(p)’, ‘(p → q)’, ‘((q ∨ r) → p)’. Pero ni ‘(p)(¬q)’ ni ‘((p) → (q)) ∧’ son una fórmula; no lo es la primera expresión porque si bien ‘p’ y ‘¬(p)’ son fórmulas, no existe ningún enlace sentencial entre ellas; y no lo es la segunda porque el enlace ‘∧’ no está flanqueado a derecha e izquierda por una fórmula, como exigen las reglas^[9].

Se adoptan dos reglas de transformación. Una de ellas, la regla de sustitución (para variables sentenciales), dice que de una fórmula que contenga variables sentenciales puede siempre derivarse otra fórmula sustituyendo uniformemente con fórmulas las variables. Queda entendido que cuando se sustituye una variable en una fórmula debe hacerse la misma sustitución en todos los lugares en que este presente dicha variable. Por ejemplo, suponiendo que ha quedado establecido ya que ‘p → p’, podemos sustituir la variable ‘p’ con la fórmula ‘q’ para obtener ‘q → q’; o podemos sustituirla con la fórmula ‘p ∧ q’ para obtener ‘(p ∧ q) → (p ∧ q)’. O bien, si sustituimos ‘p’ por frases reales podemos obtener cualquiera de las siguientes expresiones a partir de ‘p → p’: ‘las ranas son ruidosas → las ranas son ruidosas’; ‘(los murciélagos son ciegos y los murciélagos comen ratones) → (los murciélagos son ciegos y los murciélagos comen ratones)’^[10]. La segunda regla de transformación es la regla de separación (o modus ponens). Esta regla dice que de dos fórmulas que tengan la forma S₁ y S₁ → S₂ se puede derivar siempre la fórmula S₂. Por ejemplo, de las dos fórmulas ‘p ∨ (¬p)’ y ‘(p ∨ (¬p)) → (p → p)’ podemos derivar ‘p → p’.

Finalmente, los axiomas del cálculo (esencialmente los de Principia) son las cuatro fórmulas siguientes:

(p ∨ p) → p o, en español, si p o p entonces p	Si (Enrique VIII era un patán o Enrique VIII era un patán) entonces Enrique VIII era un patán
p → (p ∨ q) esto es, si p entonces p o q	Si el psicoanálisis está de moda, entonces (o el psicoanálisis está de moda o los polvos para el dolor de cabeza son baratos).
(p ∨ q) → (q ∨ p) esto es, si o p o q entonces o q o p	Si (o Emmanuel Kant era puntual o Hollywood es pecaminoso), entonces (o Hollywood es pecaminoso o Emmanuel Kant era puntual)
(p → q) → ((r ∨ p) → (r ∨ q)) esto es, si (si p, entonces q), entonces (si (o r o p) entonces (o r o q))	Si (si los patos anadean entonces 5 es un número primo), entonces (si (o Churchill bebe coñac o los patos anadean) entonces (o Churchill bebe coñac o 5 es un número primo)).

En la columna de la izquierda hemos expresado los axiomas con su correspondiente traducción. En la columna de la derecha hemos dado un ejemplo para cada axioma. La tosquedad de las traducciones, especialmente en el caso del último axioma, ayudara tal vez al lector a comprender las ventajas de utilizar un simbolismo especial en la lógica formal. Es importante también observar que las disparatadas ilustraciones utilizadas como ejemplos de sustitución de los axiomas y el hecho de que los consiguientes no guarden relación con los antecedentes en manera alguna afectan a la validez de las conexiones lógicas establecidas en los ejemplos.

Cada uno de estos axiomas puede parecer «evidente» y trivial. Sin embargo, con ayuda de las reglas de transformación expresadas es posible derivar de ellos una clase infinitamente grande de teoremas que están lejos de ser evidentes o triviales. Por ejemplo, la fórmula

((p → q) → ((r → s) → t)) → ((u → ((r → s) → t)) → ((p → u) → (s → t)))

puede ser derivada como teorema. No nos interesa, empero, por el momento derivar teoremas de los axiomas. Nuestro propósito es demostrar que este conjunto de axiomas no es contradictorio, es decir, demostrar «absolutamente» que, utilizando las reglas de transformación, es imposible derivar de los axiomas una fórmula S juntamente con su negación formal ¬(S).

Ahora bien, ocurre que ‘p → (¬(p) → q)’ (en palabras: ‘si p, entonces si no p entonces q’) es un teorema del cálculo. (Aceptaremos esto como un hecho sin exponer la derivación.) Supongamos ahora que pudiera deducirse de los axiomas alguna fórmula S juntamente con su contradictoria ¬(S). Sustituyendo la variable ‘p’ por S en el teorema (como lo permite la regla de sustitución) y aplicando por dos veces la regla de separación, sería deducible la fórmula ‘q’. Pero si la fórmula que se compone de la variable^[11] ‘q’ es demostrable, se sigue inmediatamente que, sustituyendo ‘q’ por una fórmula cualquiera, cualquier fórmula es deducible de los axiomas. Resulta así claro que, si tanto una fórmula S como su contradictoria ¬(S) fuesen deducibles de los axiomas, sería también deducible cualquier fórmula. En resumen, si el cálculo no es consistente, toda fórmula es un teorema, lo que equivale a decir que de un conjunto contradictorio de axiomas puede ser derivada cualquier fórmula. Pero esto tiene una contrapartida: si no toda fórmula es un teorema (es decir, si existe por lo menos una fórmula que no sea derivable de los axiomas), entonces el cálculo es consistente. Lo que hace falta, por consiguiente, es demostrar que existe por lo menos una fórmula que no puede ser derivada de los axiomas.

La forma de hacerlo es emplear un razonamiento metamatemático sobre el sistema que tenemos delante. El procedimiento no carece de elegancia. Consiste en encontrar una característica o propiedad estructural de las fórmulas que satisfaga las tres condiciones siguientes:

Si logramos éxito en esta triple tarea habremos conseguido una prueba absoluta de consistencia. El razonamiento viene a ser el siguiente: la propiedad hereditaria se transmite desde los axiomas a todos los teoremas; pero si puede encontrarse un conjunto de signos que sea adecuado a las exigencias de ser una fórmula del sistema y que, sin embargo, no posea esa determinada propiedad hereditaria, tal fórmula no puede ser un teorema. (Lo que es lo mismo, si un hijo dudoso [fórmula] carece de un rasgo invariablemente hereditario de los antepasados [axioma], no puede ser realmente su descendiente [teorema].) Pero si descubrimos una fórmula que no es un teorema, hemos demostrado la consistencia del sistema, ya que, como hemos hecho notar hace un momento, si el sistema no fuese consistente todas las fórmulas podrían ser derivadas de los axiomas (esto es, toda fórmula sería un teorema). En resumen, lo que se necesita es mostrar una sola fórmula que carezca de la propiedad hereditaria.

Identifiquemos una propiedad de la clase requerida. La que elegimos es la propiedad de ser una «tautología». En el lenguaje corriente, se dice que una expresión es tautológica si contiene una redundancia y manifiesta dos veces la misma cosa con diferentes palabras, como, por ejemplo, «Juan es el padre de Carlos, y Carlos es hijo de Juan». Pero en lógica se define la tautología como una proposición que no excluye ninguna posibilidad lógica, por ejemplo, «o está lloviendo o no está lloviendo». Otra forma de expresar esto mismo es decir que una tautología es «verdadera en todos los mundos posibles». Nadie dudaría que, independientemente del estado real del tiempo (esto es, prescindiendo de si la afirmación de que está lloviendo es verdadera o falsa), la proposición «o está lloviendo o no está lloviendo» es necesariamente verdadera.

Hacemos aplicación de esta idea para definir una tautología en nuestro sistema. Obsérvese primero que toda fórmula se halla construida de componentes elementales, ‘p’, ‘q’, ‘r’, etc. Una fórmula es una tautología si es invariablemente verdadera, independientemente de que sus componentes elementales sean verdaderos o falsos. Así, en el primer axioma, ‘(p ∧ p) → p’, el único componente elemental es ‘p’; pero no importa en absoluto que se suponga que ‘p’ es verdadero o que se suponga que es falso; el primer axioma es verdadero en cualquiera de ambos casos. Puede darse una mayor evidencia a esto si sustituimos ‘p’ por la proposición ‘el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura’; de este modo obtenemos como ejemplo del primer axioma la proposición ‘si el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura o el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura, entonces el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura’. El lector no encontrara ninguna dificultad para admitir que esta declaración es verdadera, aun cuando ignore si lo es la proposición constitutiva ‘el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura’. Evidentemente, pues, el primer axioma es una tautología, es decir, «verdadero en todos los mundos posibles». Puede demostrarse fácilmente que cada uno de los demás axiomas son también una tautología.

Después, es posible demostrar que la propiedad de ser una tautología es hereditaria por las reglas de transformación, aunque no nos detendremos a dar la demostración^[12]. De aquí se desprende que toda fórmula correctamente derivada de los axiomas (esto es, todo teorema) debe ser una tautología.

Se ha demostrado ya que la propiedad de ser tautología satisface dos de las tres condiciones anteriormente mencionadas, con lo que estamos ya en situación de dar el tercer paso. Debemos buscar una fórmula que pertenezca al sistema (esto es, que se halle formada con los signos mencionados en el vocabulario, de conformidad con las reglas de formación) y que, no obstante, por no poseer la propiedad de ser una tautología, no pueda ser un teorema (es decir, que no pueda ser derivada de los axiomas). No se necesita buscar mucho; es fácil mostrar una fórmula de esta clase. Por ejemplo, ‘p ∨ q’ se ajusta a los requisitos. ‘Quiere ser ansarón, pero no pasa de pato’ no pertenece a la familia; es una fórmula, pero no es un teorema. Evidentemente, no es una tautología. Cualquier ejemplo de sustitución (o interpretación) lo demuestra en seguida. Sustituyendo las variables de ‘p ∨ q’ podemos obtener la proposición ‘Napoleón murió de cáncer o a Bismarck le gustaba el café’. Esto no es una verdad de la lógica, ya que sería falsa si fuesen falsas las dos cláusulas presentes en ella; y, aun cuando se tratase de una proposición verdadera, no lo es independientemente de la verdad o falsedad de sus proposiciones constitutivas.

Hemos alcanzado nuestro objetivo. Hemos encontrado una fórmula por lo menos que no es un teorema. Tal fórmula no podría existir si los axiomas fuesen contradictorios. Por consiguiente, no es posible derivar de los axiomas del cálculo sentencial tanto una fórmula como su negación. En resumidas cuentas, hemos mostrado una prueba absoluta de la consistencia del sistema^[13].

Antes de abandonar el cálculo sentencial debemos mencionar una última cuestión. Puesto que todo teorema de este cálculo es una tautología, una verdad de la lógica, es natural preguntar si, inversamente, toda verdad lógica susceptible de ser expresada en el vocabulario del cálculo (es decir, toda tautología) es también un teorema (esto es, derivable de los axiomas). La respuesta es afirmativa, aunque su demostración es demasiado larga para presentarla aquí. La cuestión que aquí nos interesa, sin embargo, no depende del conocimiento de la demostración. La cuestión es que, a la luz de esta conclusión, los axiomas son suficientes para engendrar todas las fórmulas tautológicas, todas las verdades lógicas susceptibles de ser expresadas en el sistema. De tales axiomas se dice que son «completos».

Ahora bien, frecuentemente ofrece un interés extraordinario determinar si un sistema axiomatizado es completo. En efecto, un poderoso motivo para la axiomatización de diversas ramas de las matemáticas ha sido el deseo de establecer un conjunto de presunciones iniciales, a partir de las cuales puedan deducirse todas las declaraciones verdaderas de algún campo de investigación. Cuando Euclides axiomatizó la geometría elemental, seleccionó, aparentemente, sus axiomas de modo que fuese posible derivar de ellos todas las verdades geométricas; esto es, las que ya habían sido establecidas, así como cualesquiera otras que pudieran descubrirse en el futuro^[14]. Hasta tiempos muy recientes se admitía como algo incontrovertiblemente cierto la posibilidad de reunir un conjunto completo de axiomas para cualquier rama de las matemáticas. Los matemáticos creían en particular que el conjunto propuesto en el pasado para la aritmética era realmente completo, o, en todo caso, podía completarse mediante el sencillo expediente de agregar un número finito de axiomas a la lista original. El descubrimiento de que esto no surtiría efecto es uno de los más importantes logros de Gödel.

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