Quedan dos puentes más por cruzar antes de llegar al teorema de Gödel propiamente dicho. Debemos indicar como y por qué surgieron a la luz los Principia Mathematica de Whitehead y Russell; y debemos presentar una breve ilustración de la formalización de un sistema deductivo —tomaremos un fragmento de los Principia— y explicar cómo puede demostrarse su absoluta consistencia.

Corrientemente, aun cuando las demostraciones matemáticas se hallen conformes con los niveles admitidos de rigor profesional, adolecen de una importante omisión. Incorporan principios (o reglas) de deducción no formulados explícitamente que, frecuentemente, pasan inadvertidos a los matemáticos. Tomemos el teorema de Euclides de que no existe ningún número que sea el número primo mayor de todos los posibles (un número es primo si no es divisible sin resto más que por sí mismo y por 1). La argumentación, desarrollada en la forma de una reductio ad absurdum, es la siguiente:

Supongamos, en contradicción con lo que el teorema trata de demostrar, que existe un número primo máximo. Lo llamamos ‘x’. Entonces:

Hemos manifestado solamente los eslabones principales de la demostración. Puede hacerse ver, no obstante, que para forjar la cadena completa se requiere un gran número de reglas de deducción tácitamente aceptadas, así como teoremas de la lógica. Algunas de ellas pertenecen a la parte más elemental de la lógica formal, otras a ramas más avanzadas; por ejemplo, se incorporan reglas y teoremas que pertenecen a la «teoría de la cuantificación». Ésta hace referencia a las relaciones entre proposiciones que contienen partículas «cuantificadoras» tales como «todos», «algunos» y sus sinónimos. Mostraremos un teorema elemental de la lógica y una regla de deducción, cada uno de los cuales es partícipe necesario pero silencioso en la demostración.

Obsérvese el punto número 5 de la argumentación. ¿De dónde procede? La respuesta es: del teorema lógico (o verdad necesaria), «o p o no p», en el que se denomina ‘p’ a una variable proposicional. Pero ¿cómo obtenemos el punto número 5 de este teorema? La respuesta es: utilizando la regla de deducción conocida como «Regla de sustitución para variables proposicionales», según la cual una proposición puede derivarse de cualquiera otra que contenga variables de ese tipo, sustituyendo por cualquier proposición (en este caso, ‘y es primo’) cada presentación de una variable distinta (en este caso, la variable ‘p’). El uso de estas reglas y de estos teoremas lógicos es frecuentemente, como hemos dicho, una acción casi por completo inconsciente. Y el análisis que los revela, aun en demostraciones tan relativamente sencillas como la de Euclides, se apoya en los progresos hechos en la teoría lógica durante los últimos cien años^[6]. Como el señor Jourdain, de Molière, que hablaba en prosa sin saberlo, los matemáticos han estado razonando durante dos milenios por lo menos sin darse cuenta de todos los principios que subyacían bajo lo que estaban haciendo. Solo en tiempos recientes se ha hecho evidente la naturaleza de las herramientas de su oficio.

Durante casi dos mil años la codificación de Aristóteles de las formas válidas de deducción fue universalmente considerada como completa e incapaz de mejora esencial. En 1787, el filósofo alemán Emmanuel Kant pudo decir que desde Aristóteles la lógica formal «no ha sido capaz de avanzar un solo paso, y, según todas las apariencias, es un cuerpo de doctrina cerrado y completo». Lo cierto es que la lógica tradicional es gravemente incompleta e incluso deja de dar una explicación a muchos principios de deducción empleados en razonamientos matemáticos totalmente elementales^[7]. Con la publicación en 1847 de The Mathematical Analysis of Logic, de George Boole, comenzó en los tiempos modernos un renacimiento de los estudios lógicos. El objetivo primordial de Boole y de sus sucesores inmediatos era desarrollar un álgebra de la lógica que suministrase una notación precisa para manejar tipos más generales y variados de deducción que los abarcados por los principios lógicos tradicionales. Supóngase que se observa que en una determinada escuela quienes obtienen mención honorífica en su examen de grado son precisamente los muchachos que destacan en matemáticas y las muchachas que no destacan en esta materia. ¿Cómo se forma la clase de destacados en matemáticas en relación a las otras clases de estudiantes? La respuesta no surge pronta si uno se sirve únicamente de la lógica tradicional. Pero con ayuda del álgebra de Boole puede demostrarse fácilmente que la clase de los destacados en matemáticas se compone exactamente de muchachos graduados con mención honorífica y de muchachas graduadas sin tal mención.

Todos los caballeros son educados.

Ningún banquero es educado.

Ningún caballero es banquero.

c ⊂ e

b ⊂ ē

c ⊂ b

cē = 0

be = 0

cb = 0

La lógica simbólica fue inventada a mediados del siglo XIX por el matemático ingles George Boole. En este ejemplo se traduce un silogismo por su notación de dos maneras distintas. En el grupo superior de fórmulas el símbolo ‘⊂’ significa ‘está contenido en’. Así, ‘c ⊂ e’ quiere decir que la clase de los caballeros está incluida en la clase de las personas educadas. En el grupo inferior de fórmulas dos letras juntas significan la clase de las cosas que poseen ambas características. Por ejemplo ‘be’ significa la clase de individuos que son banqueros y educados; y la ecuación ‘be = 0’ indica que esta clase no tiene ningún miembro. Una línea colocada sobre una letra significa ‘no’ (‘ē ’, por ejemplo, significa ineducado).

Otra línea de investigación, estrechamente relacionada con los trabajos de los matemáticos del siglo XIX sobre los fundamentos del análisis, vino más tarde a asociarse al programa de Boole. Este nuevo desarrollo trato de mostrar la matemática pura como un capítulo de la lógica formal, y quedo encarnado en los Principia Mathematica de Whitehead y Russell en 1910. Los matemáticos del siglo XIX consiguieron «aritmetizar» el álgebra y lo que solía llamarse el «cálculo infinitesimal», demostrando que las diversas nociones empleadas en el análisis matemático son definibles en términos exclusivamente aritméticos (esto es, con números enteros y con operaciones aritméticas realizadas con ellos). Por ejemplo, en vez de aceptar el número imaginario √−1 como una «entidad» un tanto misteriosa fue definido como un par ordenado de números enteros (0,1) sobre el que se realizan ciertas operaciones de «adición» y «multiplicación». Análogamente, el número irracional √2 fue definido como una cierta clase de números racionales, la clase de números racionales cuyo cuadrado es menor de 2. Lo que Russell (y, antes que él, el matemático alemán Gottlob Frege) trataba de demostrar era que todas las nociones aritméticas pueden ser definidas en ideas estrictamente lógicas y que todos los axiomas de la aritmética pueden ser deducidos de un pequeño número de proposiciones básicas certificables como verdades estrictamente lógicas.

Así, por ejemplo, la noción de clase pertenece a la lógica general. Dos clases son definidas como «semejantes» si existe una correspondencia biunívoca entre sus miembros, pudiéndose explicar la noción de tal correspondencia acudiendo a otras ideas lógicas. De una clase que tiene un solo miembro se dice que es una «clase unidad» (la clase de satélites del planeta Tierra); y el número cardinal 1 puede ser definido como la clase de todas las clases semejantes a una clase unidad. Definiciones análogas pueden darse de los otros números cardinales, y las diversas operaciones aritméticas, tales como la adición y la multiplicación, pueden ser definidas en términos de la lógica formal. Una proposición aritmética, como ‘1 + 1 = 2’, puede entonces ser mostrada como la transcripción condensada de una proposición que contenga expresiones pertenecientes únicamente a la lógica general; y puede demostrarse que tales proposiciones estrictamente lógicas pueden ser deducidas de ciertos axiomas lógicos.

Principia Mathematica pareció así adelantar la solución final del problema de la consistencia de los sistemas matemáticos, y en particular de la aritmética, mediante el expediente de reducir el problema al de la consistencia de la lógica formal misma. Porque, si los axiomas de la aritmética son simples transcripciones de teoremas de la lógica, la cuestión de si dichos axiomas son consistentes es equivalente a la cuestión de si son consistentes los axiomas fundamentales de la lógica.

La tesis Frege-Russell de que las matemáticas son únicamente un capítulo de la lógica no ha obtenido, por diversas razones de detalle, aceptación universal por parte de los matemáticos. Por otra parte, como ya hemos hecho notar, las antinomias de la teoría cantoriana de los números transfinitos pueden resultar reproducidas dentro de la lógica misma, a no ser que se tomen especiales precauciones para impedir tal resultado. Pero ¿son adecuadas para excluir todas las formas de construcciones autocontradictorias las medidas adoptadas en Principia Mathematica para soslayar las antinomias No puede asegurarse concluyentemente. Por eso la reducción de la aritmética a la lógica practicada por Frege y Russell no proporciona una respuesta final al problema de la consistencia; en realidad, el problema surge simplemente en una forma más general. Mas, prescindiendo de la validez de la tesis Frege-Russell, existen en Principia dos elementos que poseen un valor inestimable para el ulterior estudio de la cuestión de la consistencia. Principia suministra un sistema notablemente comprensivo de notación, con ayuda del cual se pueden codificar todas las proposiciones de la matemática pura (y en particular de la aritmética), al tiempo que revela de un modo explícito la mayoría de las reglas de deducción formal utilizadas en las demostraciones matemáticas (reglas que, finalmente, fueron completadas y dotadas de una mayor precisión). Principia, en suma, creó el instrumento esencial para investigar todo el sistema de la aritmética como un cálculo no interpretado, esto es, como un sistema de signos carentes de significado, cuyas fórmulas (o «hileras») se combinan y transforman de acuerdo con reglas operativas expresas.

IV