Pruebas absolutas de consistencia
Las limitaciones inherentes a la utilización de modelos para demostrar la consistencia y la creciente aprensión de que las formulaciones clásicas de muchos sistemas matemáticos pudiesen albergar contradicciones internas condujeron a nuevas formas de abordar el problema. Hilbert propuso una alternativa a las pruebas relativas de consistencia. Trato de construir pruebas «absolutas» con las que pudiera demostrarse la consistencia de los sistemas sin necesidad de dar por supuesta la consistencia de algún otro sistema. Explicaremos brevemente este método con el fin de que pueda comprenderse mejor la realización de Gödel.
El primer paso en la construcción de una prueba absoluta, tal como concibió Hilbert la cuestión, es la completa formalización de un sistema deductivo. Esto implica la extracción de todo significado de las expresiones existentes dentro del sistema: se las debe considerar, simplemente, como signos vacíos. La forma en que se deben manipular y combinar estos signos ha de ser plasmada en un conjunto de reglas enunciadas con toda precisión. La finalidad de este procedimiento estriba en construir un sistema de signos (llamado un «cálculo») que no oculte nada y que solamente contenga lo que expresamente se haya puesto en él. Los postulados y los teoremas de un sistema completamente formalizado son «hileras» (o sucesiones de longitud finita) de signos carentes de significado construidas conforme a las reglas establecidas para combinar los signos elementales del sistema hasta formar conjuntos más amplios. Además, cuando un sistema ha sido completamente formalizado, la derivación de teoremas a partir de los postulados se limita, simplemente, a la transformación (siguiendo las reglas) de un conjunto de estas «hileras» en otro conjunto de «hileras». De esta manera se elimina el peligro de utilizar cualesquiera reglas no declaradas de razonamiento. La formalización es difícil y exige un buen número de tretas, pero sirve a una valiosa finalidad. Revela con desnuda claridad la estructura y la función, del mismo modo que el nítido modelo de una máquina. Cuando ha sido formalizado un sistema, quedan a la vista las relaciones lógicas existentes entre las proposiciones matemáticas; pueden verse los módulos estructurales de las diversas «hileras» de signos «carentes de significado», como permanecen unidas, como se combinan, como se alojan una en otra, etcétera.
Una página entera cubierta con los signos «carentes de significado» de este tipo de matemáticas formalizadas no afirma nada; es, simplemente, el diseño abstracto de un mosaico que posee una determinada estructura. Sin embargo, es perfectamente posible describir las configuraciones de un sistema así y formular declaraciones acerca de las configuraciones y de sus diversas relaciones mutuas. Puede uno decir que una «hilera» es bonita, o que se parece a otra «hilera», o que una «hilera» parece estar hecha de otras tres distintas, etcétera. Estas declaraciones poseen, evidentemente, significado y pueden suministrar información importante acerca del sistema formal. Es preciso observar, no obstante, que tales declaraciones significativas acerca de un sistema matemático carente de significado (o formalizado) no pertenecen plenamente a dicho sistema. Pertenecen a lo que Hilbert denominó «metamatemáticas», al lenguaje que se formula acerca de las matemáticas. Las declaraciones metamatemáticas son declaraciones acerca de los signos existentes dentro de un sistema matemático formalizado (es decir, un cálculo), acerca de las especies y disposición de tales signos cuando se combinan para formar hileras más largas de signos llamadas «fórmulas», o acerca de las relaciones entre fórmulas que pueden obtenerse como consecuencia de las reglas de manipulación establecidas para ellas.
Unos cuantos ejemplos ayudaran a comprender la distinción de Hilbert entre matemáticas (es decir, un sistema de signos carentes de significado) y metamatemáticas (declaraciones significativas acerca de las matemáticas, los signos introducidos en el cálculo, su ordenación y sus relaciones). Consideremos la expresión:
2 + 3 = 5
Esta expresión pertenece a las matemáticas (aritmética) y está formada exclusivamente de signos aritméticos elementales. Por otra parte, la proposición
‘2 + 3 = 5’ es una fórmula aritmética
afirma algo acerca de la expresión indicada. La proposición no expresa un hecho aritmético ni pertenece al lenguaje formal de la aritmética; pertenece a la metamatemática porque caracteriza como fórmula a una determinada hilera de signos aritméticos. Pertenece también a la metamatemática la siguiente proposición:
Si se usa el signo ‘=’ en una fórmula aritmética, el signo debe hallarse flanqueado a derecha e izquierda por expresiones numéricas.
Esta proposición establece una condición necesaria para utilizar un determinado signo aritmético en fórmulas aritméticas: la estructura que debe poseer una fórmula aritmética si ha de incluir dicho signo.
Consideremos ahora las tres fórmulas siguientes:
x = x
0 = 0
0 ≠ 0
Cada una de estas fórmulas pertenece a las matemáticas (aritmética), porque cada una de ellas está formada exclusivamente de signos aritméticos. Pero la afirmación
‘x’ es una variable
pertenece a las metamatemáticas, toda vez que caracteriza a un determinado signo aritmético como perteneciente a una clase específica de signos (esto es, a la clase de las variables). Igualmente pertenece a las metamatemáticas la siguiente afirmación:
La fórmula ‘0 = 0’ puede derivarse de la fórmula ‘x = x’ sustituyendo por la cifra ‘0’ la variable ‘x’.
Aquí se especifica de qué modo puede obtenerse una fórmula aritmética a partir de otra fórmula, con lo que se describe la forma en que se encuentran relacionadas entre sí dos fórmulas. De modo semejante, la afirmación
‘0 ≠ 0’ no es un teorema
pertenece a las metamatemáticas, ya que dice que cierta fórmula no es derivable de los axiomas de la aritmética y afirma, por tanto, que no existe una determinada relación entre las dos fórmulas indicadas del sistema. Finalmente, la siguiente afirmación pertenece a las metamatemáticas:
La aritmética es consistente
(esto es, no es posible derivar de los axiomas de la aritmética dos fórmulas formalmente contradictorias, como, por ejemplo, las fórmulas ‘0 = 0’ y ‘0 ≠ 0’). Esto se halla referido a la aritmética, y afirma que pares de fórmulas de cierto tipo no se hallan en una específica relación con las fórmulas que constituyen los axiomas de la aritmética[4].
Puede que el lector encuentre intimidante la palabra «metamatemáticas» y un tanto confuso su concepto. No vamos a decir que la palabra sea bonita, pero la idea en sí no resultaría oscura para nadie si hacemos notar que se utiliza en relación a un caso concreto de una conocida distinción, la que hace referencia a la diferencia existente entre un objeto determinado que constituye materia de estudio y un raciocinio acerca de dicho objeto. La afirmación «entre los falaropos son los machos los que incuban los huevos» concierne al objeto investigado por los zoólogos y pertenece a la zoología; pero si decimos que esta afirmación acerca de los falaropos demuestra que la zoología es irracional, nuestra declaración no se refiere a los falaropos, sino a la afirmación enunciada y a la disciplina en que tiene lugar, y es ya metazoología. Si decimos que el id es más poderoso que el ego, nuestras palabras pertenecen al psicoanálisis ortodoxo; pero si criticamos esa declaración como absurda e indemostrable, nuestra crítica pertenece al metapsicoanálisis. Y lo mismo ocurre en el caso de la matemática y la metamatemática. Los sistemas formales que construyen los matemáticos pertenecen al grupo denominado «matemáticas»; la descripción, discusión y teorización realizadas en torno a los sistemas pertenecen al grupo que lleva el epígrafe de «metamatemáticas».
Nunca se recalcará bastante la importancia que para el objeto que nos ocupa tiene el que se llegue a apreciar la distinción entre matemáticas y metamatemáticas. El fracaso en este sentido ha dado lugar a numerosas paradojas y a una extraordinaria confusión. La comprensión de su significado ha hecho posible mostrar con toda claridad la estructura lógica del razonamiento matemático. El valor de la distinción radica en que da origen a una minuciosa codificación de los diversos signos que entran en la composición de un cálculo formal, libre de engañosas suposiciones y de irrelevantes asociaciones de ideas. Exige, además, disponer de definiciones exactas de las operaciones y de las reglas lógicas de la construcción y la deducción matemática, muchas de las cuales habían estado siendo aplicadas por los matemáticos sin que estos se hallaran plenamente conscientes de que era lo que estaban utilizando.
Hilbert capto el núcleo de la cuestión y baso su intento de construir pruebas «absolutas» de consistencia en la distinción entre un cálculo formal y su descripción. Concretamente, trato de desarrollar un método que produjera demostraciones de consistencia tan ajenas a una autentica duda lógica como el uso de modelos finitos para demostrar la consistencia de ciertos conjuntos de postulados, y ello mediante el análisis de un número finito de características estructurales de las expresiones contenidas en cálculos completamente formalizados. El análisis consiste en anotar los diversos tipos de signos que se dan en un cálculo, indicar como combinarlos en fórmulas, prescribir como pueden obtenerse nuevas fórmulas a partir de otras y determinar si fórmulas de una determinada clase pueden derivarse de otras mediante reglas operativas explícitamente enunciadas. Hilbert creía posible presentar cualquier cálculo matemático como una especie de esquema «geométrico» de fórmulas, en el que las fórmulas se relacionaran mutuamente en número finito de relaciones estructurales. Esperaba, por consiguiente, demostrar, examinando exhaustivamente estas propiedades estructurales de las expresiones encerradas en un sistema, que no pueden obtenerse fórmulas formalmente contradictorias a partir de los axiomas de cálculos dados. Requisito esencial del programa de Hilbert en su primitiva concepción era que las demostraciones de consistencia implicaran únicamente procedimientos que no hicieran referencia ni a un número infinito de propiedades estructurales de fórmulas ni a un número infinito de operaciones con fórmulas. Tales procedimientos son denominados «finitistas», y una prueba de consistencia que se halle en adecuación a dicho requisito recibe el nombre de «absoluta». Una prueba «absoluta» logra sus objetivos utilizando un mínimo de principios de deducción y no presupone la consistencia de ningún otro conjunto de axiomas. Una prueba absoluta de la consistencia de la aritmética, si pudiera construirse alguna, demostraría, pues, mediante un procedimiento metamatemático finitista, que dos fórmulas contradictorias, tales como ‘0 = 0’ y su negación formal ‘¬(0 = 0)’ —en la que el signo ‘¬’ significa «no»—, no pueden derivarse de los axiomas (o fórmulas iniciales) mediante reglas explícitamente enunciadas[5].
Puede resultar útil, por vía de ejemplo, comparar las metamatemáticas como teoría de la demostración con la teoría del ajedrez. El ajedrez se juega con 32 piezas de una forma determinada sobre un tablero cuadrado que contiene 64 subdivisiones cuadradas, en el que se pueden mover las piezas conforme a unas reglas establecidas. Evidentemente, el juego puede desarrollarse sin atribuir ninguna «interpretación» a las piezas ni a sus diversas posiciones sobre el tablero, si bien podría introducirse tal interpretación si así se deseara. Podemos estipular, por ejemplo, que un determinado peón representa a cierto regimiento de un ejército, que un escaque determinado figura ser una cierta región geográfica, etc. Pero semejantes estipulaciones (o interpretaciones) no son habituales, y ni las piezas, ni los escaques, ni las posiciones de las piezas sobre el tablero significan nada ajeno al juego. En este sentido, las piezas y su configuración sobre el tablero son «carentes de significado». El juego es, pues, análogo a un cálculo matemático formalizado. Las piezas y los cuadrados del tablero corresponden a los signos elementales del cálculo; las posiciones permitidas de las piezas sobre el tablero, a las fórmulas del cálculo; las posiciones iniciales de las piezas sobre el tablero, a los axiomas, o fórmulas iniciales, del cálculo; las subsiguientes posiciones de las piezas sobre el tablero, a las fórmulas derivadas de los axiomas (esto es, a los teoremas), y las reglas del juego, a las reglas de deducción (o derivación) establecidas para el cálculo. El paralelismo continúa. Aunque las respectivas situaciones de las piezas en el tablero, como las fórmulas del cálculo, sean «carentes de significado», las declaraciones acerca de estas situaciones, como las declaraciones metamatemáticas acerca de las fórmulas, se hallan plenamente dotadas de significado. Una declaración «metaajedrecística» puede afirmar que hay veinte movimientos posibles de apertura para las piezas blancas, o que, dada una determinada configuración de las piezas sobre el tablero, y correspondiéndoles mover a las blancas, estas dan mate a las negras en tres jugadas. Además, pueden establecerse teoremas «metaajedrecísticos» generales cuya demostración requiere solamente un número finito de configuraciones permisibles sobre el tablero. De este modo puede establecerse el teorema «metaajedrecístico» acerca del número de posibles movimientos de apertura de que disponen las blancas; y también el teorema metaajedrecístico de que si las blancas tienen solo dos caballos y el rey, y las negras solo su rey, a aquellas les es totalmente imposible dar mate a éstas. Éstos y otros teoremas «metaajedrecísticos» pueden, en otras palabras, ser demostrados mediante métodos finitistas de razonamiento, esto es, examinando sucesivamente cada una de las configuraciones que, en número finito, pueden darse bajo las condiciones previstas. De modo análogo, el propósito de la teoría de prueba de Hilbert era demostrar con esos métodos finitistas la imposibilidad de derivar ciertas fórmulas contradictorias en un cálculo matemático dado.